Dodécaèdre adouci

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Dodécaèdre adouci

alt=Description de l'image snubdodecahedronccw.gif.
alt=Description de l'image snubdodecahedroncw.gif.
Faces Arêtes Sommets
92 triangles et pentagones 150 60 de degré 5
Type Solide d'Archimède
Caractéristique 2
Propriétés Semi-régulier et convexe, chiral
Groupe de symétrie Ih
Dual Hexacontaèdre pentagonal

Le dodécaèdre adouci ou icosidodécaèdre adouci est un solide d'Archimède.

Le dodécaèdre possède 92 faces dont 12 sont des pentagones et les 80 autres sont des triangles équilatéraux. Il possède aussi 150 arêtes et 60 sommets. Il a deux formes distinctes, qui sont les images dans un miroir (ou énantiomorphes) l'une de l'autre.

Relations géométriques[modifier | modifier le code]

Le dodécaèdre peut être engendré en prenant les douze faces pentagonales du dodécaèdre, en les tirant de telle façon qu'aucune ne se touchent, puis en leur donnant toutes une petite rotation de leurs centres (toutes en sens horaire (Sh) ou toutes en sens anti-horaire (Sah)) jusqu'à ce que l'espace entre elles puisse être rempli par des triangles équilatéraux.

Coordonnées cartésiennes[modifier | modifier le code]

Les coordonnées cartésiennes pour les sommets d'un dodécaèdre adouci sont toutes les permutations paires de

(\pm 2\alpha, \pm 2, \pm 2\beta)\,,
(\pm(\alpha + \frac{\beta}{\tau} + \tau), \pm(-\alpha \tau + \beta + \frac{1}{\tau}), \pm(\frac{\alpha}{\tau} + \beta \tau - 1)),
(\pm(-\frac{\alpha}{\tau} + \beta \tau + 1), \pm(-\alpha + \frac{\beta}{\tau} - \tau), \pm(\alpha \tau + \beta - \frac{1}{\tau})),
(\pm(-\frac{\alpha}{\tau} + \beta \tau - 1), \pm(\alpha - \frac{\beta}{\tau} - \tau), \pm(\alpha \tau + \beta + \frac{1}{\tau})) et
(\pm(\alpha + \frac{\beta}{\tau} - \tau), \pm(\alpha \tau - \beta + \frac{1}{\tau}), \pm(\frac{\alpha}{\tau} + \beta \tau + 1)),

avec un nombre pair de signes plus, où

\alpha = \xi - \frac{1}{\xi}

et

\beta = \xi \tau + \tau^2 + \frac{\tau}{\xi},

\tau = \frac{(1+\sqrt{5})}{2} est le nombre d'or et \xi\, est la solution réelle de \xi^3 - 2\xi = \tau\,, qui est le nombre magnifique

\xi = \sqrt[3]{\frac{\tau}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\tau - \frac{5}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{\tau}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\tau - \frac{5}{27}}}

ou approximativement 1,7155615. En prenant les permutations impaires des coordonnées ci-dessus avec un nombre impair de signes plus donne une autre forme, l'énantiomorphe de celle-ci.

Références[modifier | modifier le code]

  • Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979, ISBN 0-486-23729-X

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]