Solide de Catalan

En mathématiques, un solide de Catalan ou dual archimédien, est un polyèdre dual d'un solide d'Archimède. Les solides de Catalan ont été nommés ainsi en l'honneur du mathématicien belge Eugène Catalan qui, en 1865, fut le premier à les étudier de manière systématique et les décrire et représenter avec soin et minutie^[1].

Les solides de Catalan sont tous convexes. Ils sont de faces uniformes mais non de sommets uniformes, en raison du fait que les duaux archimédiens sont de sommets uniformes et non de faces uniformes. À la différence des solides de Platon et des solides d'Archimède, les faces des solides de Catalan ne sont pas des polygones réguliers. En revanche, les figures de sommets des solides de Catalan sont régulières, et ont des angles dièdres égaux. De plus, deux des solides de Catalan ont des arêtes uniformes : le dodécaèdre rhombique (de première espèce) et le triacontaèdre rhombique. Ceux-ci sont les duaux des deux solides d'Archimède quasi-réguliers.

Comme leurs partenaires duaux archimédiens, il existe deux solides de Catalan chiraux, ou gyroèdres : l'icositétraèdre pentagonal et l'hexacontaèdre pentagonal. Chacun d'eux a deux formes énantiomorphes. Sans compter ces versions énantiomorphes, il existe 13 solides de Catalan au total.

Nom(s)	Dual (solide d'Archimède)	Faces	Arêtes	Sommets	Polygone de face	Symétrie	Angle dièdre
Triakitétraèdre	Tétraèdre tronqué	12	18	8	Triangle isocèle V3,6,6	T_d	$\arccos {\biggl (}-{\frac {7}{18}}{\biggl )}$ ≈ 113°
Dodécaèdre rhombique	Cuboctaèdre	12	24	14	Losange V3,4,3,4	O_h	120°
Triakioctaèdre	Cube tronqué	24	36	14	Triangle isocèle V3,8,8	O_h	$\arccos {\biggl (}-{\frac {3+8{\sqrt {2}}}{17}}{\biggl )}$ ≈ 147°
Tétrakihexaèdre	Octaèdre tronqué	24	36	14	Triangle isocèle V4,6,6	O_h	$\arccos {\biggl (}-{\frac {4}{5}}{\biggl )}$ ≈ 143°
Icositétraèdre trapézoïdal	Petit rhombicuboctaèdre	24	48	26	Cerf-volant V3,4,4,4	O_h	$\arccos {\biggl (}-{\frac {7+4{\sqrt {2}}}{17}}{\biggl )}$ ≈ 138°
Hexakioctaèdre	Grand rhombicuboctaèdre	48	72	26	Triangle scalène V4,6,8	O_h	$\arccos {\biggl (}-{\frac {71+12{\sqrt {2}}}{97}}{\biggl )}$ ≈ 155°
Icositétraèdre pentagonal (deux formes chirales)	Cube adouci	24	60	38	Pentagone irrégulier V3,3,3,3,4	O	≈ 136°
Triacontaèdre rhombique	Icosidodécaèdre	30	60	32	Losange V3,5,3,5	I_h	≈ 144°
Triaki-icosaèdre	Dodécaèdre tronqué	60	90	32	Triangle isocèle V3,10,10	I_h	$\arccos {\biggl (}-{\frac {24+15{\sqrt {5}}}{61}}{\biggl )}$ ≈ 161°
Pentakidodécaèdre	Icosaèdre tronqué	60	90	32	Triangle isocèle V5,6,6	I_h	$\arccos {\biggl (}-{\frac {80+9{\sqrt {5}}}{109}}{\biggl )}$ ≈ 157°
Hexacontaèdre trapézoïdal	Petit rhombicosidodécaèdre	60	120	62	Cerf-volant V3,4,5,4	I_h	≈ 154°
Hexaki icosaèdre	Grand rhombicosidodécaèdre	120	180	62	Triangle scalène V4,6,10	I_h	≈ 164°
Hexacontaèdre pentagonal (deux formes chirales)	Dodécaèdre adouci	60	150	92	Pentagone irrégulier V3,3,3,3,5	I	≈ 153°

Références[modifier | modifier le code]

Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
Alan Holden Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991.
Magnus Wenninger Dual Models Cambridge, England: Cambridge University Press, 1983.
Robert Williams The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc, 1979, (ISBN 0-486-23729-X)

Liens externes[modifier | modifier le code]

Solide de Catalan – Site MathWorld
Duaux archimédiens – Polyèdres en réalité virtuelle
Solide de Catalan interactif en Java

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Jean-Jacques Dupas et Norbert Verdier, « Chapitre 8 : Catalan et ses polyèdres », Bulletin de la Sabix. Société des amis de la Bibliothèque et de l’Histoire de l'École polytechnique, n^o 57,‎ 1^er juin 2015, p. 57–64 (ISSN 0989-3059, DOI 10.4000/sabix.1971, lire en ligne, consulté le 30 juillet 2022)

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[1] Jean-Jacques Dupas et Norbert Verdier, « Chapitre 8 : Catalan et ses polyèdres », Bulletin de la Sabix. Société des amis de la Bibliothèque et de l’Histoire de l'École polytechnique, n^o 57,‎ 1^er juin 2015, p. 57–64 (ISSN 0989-3059, DOI 10.4000/sabix.1971, lire en ligne, consulté le 30 juillet 2022)

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v · m Solides géométriques
Solides de Platon (5)	Tétraèdre régulier Cube Octaèdre régulier Dodécaèdre régulier Icosaèdre régulier
Solides d'Archimède (13)	Tétraèdre tronqué Cube tronqué Octaèdre tronqué Dodécaèdre tronqué Icosaèdre tronqué Cuboctaèdre Cube adouci Icosidodécaèdre Dodécaèdre adouci Petit rhombicuboctaèdre Cuboctaèdre tronqué Petit rhombicosidodécaèdre Icosidodécaèdre tronqué
Solides de Kepler-Poinsot (4)	Petit dodécaèdre étoilé Grand dodécaèdre étoilé Grand dodécaèdre Grand icosaèdre
Solides de Catalan (13)	Triakioctaèdre Tétrakihexaèdre Triakitétraèdre Pentakidodécaèdre Triaki-icosaèdre Dodécaèdre rhombique Icositétraèdre pentagonal Triacontaèdre rhombique Hexacontaèdre pentagonal Icositétraèdre trapézoïdal Hexakioctaèdre Hexacontaèdre trapézoïdal Hexaki-icosaèdre
Solides de révolution	Boule Ellipsoïde de révolution Paraboloïde de révolution Hyperboloïde de révolution Tore Tonneau Cône de révolution Cylindre de révolution
Composés polyédriques	Composé de deux tétraèdres Octangle étoilé
Solides de Johnson (92) voir Modèle:Palette Solides de Johnson

v · m Principaux polyèdres duaux uniformes
Réguliers convexes 5 solides de Platon	tétraèdre cube octaèdre dodécaèdre icosaèdre
Réguliers étoilés 4 solides de Kepler-Poinsot	petit dodécaèdre étoilé grand dodécaèdre étoilé grand dodécaèdre grand icosaèdre
Quasi-réguliers convexes 2 solides de Catalan	dodécaèdre rhombique triacontaèdre rhombique
Quasi-réguliers étoilés 5 non nommés	triacontaèdre rhombique médial grand triacontaèdre rhombique petit icosaèdre triambique icosaèdre triambique médial grand icosaèdre triambique
Semi-réguliers convexes non prismatiques 11 solides de Catalan	triakioctaèdre tétrakihexaèdre triakitétraèdre pentakidodécaèdre triaki-icosaèdre icositétraèdre pentagonal hexacontaèdre pentagonal icositétraèdre trapézoïdal hexakioctaèdre hexacontaèdre trapézoïdal hexaki icosaèdre
Semi-réguliers convexes prismatiques infinité	trapèzoèdre tétragonal diamant pentagonal trapèzoèdre pentagonal diamant hexagonal trapèzoèdre hexagonal …