Composé polyédrique

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Un composé polyédrique est un polyèdre qui est lui-même composé de plusieurs autres polyèdres partageant un centre commun, l'analogue tridimensionnel des composés polygonaux (en) tels que l'hexagramme.

Les sommets voisins d'un composé peuvent être connectés pour former un polyèdre convexe appelé l'enveloppe convexe. Le composé est un facettage de l'enveloppe convexe.

Un autre polyèdre convexe est formé par le petit espace central commun à tous les membres du composé. Ce polyèdre peut être considéré comme le noyau pour un ensemble de stellations incluant ce composé. (Voir la liste des modèles de polyèdre de Wenninger (en) pour ces composés et plus de stellations.)

Composés réguliers[modifier | modifier le code]

Un composé polyédrique régulier peut être défini comme un composé qui, comme un polyèdre régulier, est isogonal, isotoxal et isoédral (en). Avec cette définition, il existe 5 composés réguliers.

Composants Image Enveloppe convexe Noyau Symétrie Dual
Composé de deux tétraèdres, ou octangle étoilé Stella octangula.png Cube Octaèdre Oh Autodual
Composé de cinq tétraèdres (en) Compound of five tetrahedra.png Dodécaèdre Icosaèdre I énantiomorphe, ou jumeau chiral
Composé de dix tétraèdres (en) Compound of ten tetrahedra.png Dodécaèdre Icosaèdre Ih Autodual
Composé de cinq cubes (en) Dodécaèdre Triacontaèdre rhombique Ih Composé de cinq octaèdres
Composé de cinq octaèdres (en) Icosidodécaèdre Icosaèdre Ih Composé de cinq cubes

Le plus connu est le composé de deux tétraèdres, souvent appelé l'octangle étoilé, un nom donné par Kepler. Les sommets des deux tétraèdres définissent un cube et l'intersection des deux, un octaèdre, qui partage les mêmes faces planes que le composé. Ainsi, c'est une stellation de l'octaèdre.

L'octangle étoilé peut aussi être regardé comme un #Composé dual-régulier.

Le composé de cinq tétraèdres (en) se décline en deux versions énantiomorphes, qui ensemble forment le composé de 10 tétraèdres. Chaque composé tétraédrique est autoadual, et le composé de 5 cubes et le dual du composé de 5 octaèdres.

Composé dual-régulier[modifier | modifier le code]

Un composé dual-régulier est composé d'un polyèdre régulier (un des solides de Platon ou des solides de Kepler-Poinsot) et son dual régulier, arrangé réciproquement sur une sphère intermédiaire commune, telle que l'arête d'un polyèdre coupe l'arête duale du polyèdre dual. Il existe cinq composés de cette sorte.

Composants Image Enveloppe convexe Noyau Symétrie
Composé de deux tétraèdres Stella octangula.png Cube Octaèdre Oh
Composé du cube et de l'octaèdre Video Dodécaèdre rhombique Cuboctaèdre Oh
Composé de l'icosaèdre et du dodécaèdre Video Triacontaèdre rhombique Icosidodécaèdre Ih
Composé du grand icosaèdre et du grand dodécaèdre étoilé Great icosidodecahedron.png Dodécaèdre Icosaèdre Ih
Composé du petit dodécaèdre étoilé et du grand dodécaèdre Dodecadodecahedron.png Icosaèdre Dodécaèdre Ih

Le composé dual-régulier d'un tétraèdre avec son polyèdre dual est aussi l'octangle étoilé régulier, puisque le tétraèdre est autodual.

Les composés duaux-réguliers cube-octaèdre et dodécaèdre-icosaèdre sont les premières stellations du cuboctaèdre et de l'icosidodécaèdre, respectivement.

Le composé du petit dodécaèdre étoilé et du grand dodécaèdre ressemblent extérieurement au petit dodécaèdre étoilé, parce que le grand dodécaèdre est complètement contenu à l'intérieur.

Composés uniformes[modifier | modifier le code]

En 1976, John Skilling publia Uniform Compounds of Uniform Polyhedra (Composés uniformes de polyèdres uniformes) qui énumère 75 composés (incluant 6 ensembles prismatiques infinis de composés, #20-#25) fait à partir de polyèdres uniformes avec une symétrie rotationnelle. (Chaque sommet est de sommet uniforme et chaque sommet est transitif avec chaque autre sommet). Cette liste inclut les cinq composés réguliers ci-dessus[1].

Voici une table imagée des 75 composés uniformes listée par Skilling. La plupart sont colorés par chaque élément polyédrique. Certains, comme les paires chirales, sont colorés par symétrie des faces avec chaque polyèdre.

  • 1-19 : Divers (4,5,6,9 et 17 sont les 5 composés réguliers)
UC01-6 tetrahedra.png UC02-12 tetrahedra.png UC03-6 tetrahedra.png UC04-2 tetrahedra.png UC05-5 tetrahedra.png UC06-10 tetrahedra.png
UC07-6 cubes.png UC08-3 cubes.png UC09-5 cubes.png UC10-4 octahedra.png UC11-8 octahedra.png UC12-4 octahedra.png
UC13-20 octahedra.png UC14-20 octahedra.png UC15-10 octahedra.png UC16-10 octahedra.png UC17-5 octahedra.png UC18-5 tetrahemihexahedron.png
UC19-20 tetrahemihexahedron.png
  • 20-25 : Symétrie prismatique incluse dans la symétrie diédrique,
UC20-2k n-m-gonal prisms.png UC21-k n-m-gonal prisms.png UC22-2k n-m-gonal antiprisms.png UC23-k n-m-gonal antiprisms.png UC24-2k n-m-gonal antiprisms.png UC25-k n-m-gonal antiprisms.png
  • 26-45 : Symétrie prismatique incluse dans la symétrie octédrique ou icosaédrique,
UC26-12 pentagonal antiprisms.png UC27-6 pentagonal antiprisms.png UC28-12 pentagrammic crossed antiprisms.png UC29-6 pentagrammic crossed antiprisms.png UC30-4 triangular prisms.png UC31-8 triangular prisms.png
UC32-10 triangular prisms.png UC33-20 triangular prisms.png UC34-6 pentagonal prisms.png UC35-12 pentagonal prisms.png UC36-6 pentagrammic prisms.png UC37-12 pentagrammic prisms.png
UC38-4 hexagonal prisms.png UC39-10 hexagonal prisms.png UC40-6 decagonal prisms.png UC41-6 decagrammic prisms.png UC42-3 square antiprisms.png UC43-6 square antiprisms.png
UC44-6 pentagrammic antiprisms.png UC45-12 pentagrammic antiprisms.png
  • 46-67 : Symétrie tétraédrique incluse dans la symétrie octaédrique ou icosaédrique,
UC46-2 icosahedra.png UC47-5 icosahedra.png UC48-2 great dodecahedra.png UC49-5 great dodecahedra.png UC50-2 small stellated dodecahedra.png UC51-5 small stellated dodecahedra.png
UC52-2 great icosahedra.png UC53-5 great icosahedra.png UC54-2 truncated tetrahedra.png UC55-5 truncated tetrahedra.png UC56-10 truncated tetrahedra.png UC57-5 truncated cubes.png
UC58-5 quasitruncated hexahedra.png UC59-5 cuboctahedra.png UC60-5 cubohemioctahedra.png UC61-5 octahemioctahedra.png UC62-5 rhombicuboctahedra.png UC63-5 small rhombihexahedra.png
UC64-5 small cubicuboctahedra.png UC65-5 great cubicuboctahedra.png UC66-5 great rhombihexahedra.png UC67-5 great rhombicuboctahedra.png
UC68-2 snub cubes.png UC69-2 snub dodecahedra.png UC70-2 great snub icosidodecahedra.png UC71-2 great inverted snub icosidodecahedra.png UC72-2 great retrosnub icosidodecahedra.png UC73-2 snub dodecadodecahedra.png
UC74-2 inverted snub dodecadodecahedra.png UC75-2 snub icosidodecadodecahedra.png

Note et références[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  1. (en) The 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Polyhedral compound » (voir la liste des auteurs)
  • (en) John Skilling, « Uniform Compounds of Uniform Polyhedra », dans Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 79, 1976, p. 447-457
  • (en) Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge, 1997
  • (en) Magnus Wenninger (en), Dual Models, Cambridge, CUP, 1983, p. 51-53
  • (en) Michael G. Harman, Polyhedral Compounds, unpublished manuscript, circa 1974
  • (de) Edmund Hess (en), « Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder », dans Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der gesammten Naturwissenschaften zu Marburg, vol. 11, 1876, p. 5-97
  • (la) Luca Pacioli, De Divina Proportione (en), 1509

Liens externes[modifier | modifier le code]