Loi tronquée

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En probabilité et en statistiques, une loi tronquée est une loi conditionnelle, dérivée d'une autre loi de probabilité. Plus clairement, pour une variable aléatoire X de support réel, dont la fonction de répartition est F, la loi tronquée à l'intervalle réel est simplement la loi conditionnelle de . Ce type de situation survient dans la censure statistique. Par exemple, pour l'étude de la durée passée au chômage, durant le temps d'observation, certaines personnes étaient déjà au chômage au début de l'étude mais retrouvent du travail dans ce laps de temps (troncature à gauche) et d'autres perdent leur emploi et restent au chômage au-delà de la fin de l'étude (troncature à droite). L'étude de la loi tronquée permet alors d'évaluer la fonction de vraisemblance.

Densité[modifier | modifier le code]

Pour une variable aléatoire X, de support réel, et dont la fonction de répartition est F et la densité f, on peut montrer que le conditionnement de X à l'intervalle réel donne :

avec . La densité g associée est

pour , 0 sinon. g est une densité, puisque

.


Il existe d'autres troncatures ; pour une troncature du type , la densité devient

,

pour et partout ailleurs.

Pour une troncature du type , la densité est :

pour et 0 sinon.

Espérance d'une variable aléatoire tronquée[modifier | modifier le code]

L'espérance de X conditionnellement à l'événement est

Soit alors a et b le support de la variable initiale, pour une fonction de classe C1, la fonction (de y) présente quelques propriétés :

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5. .

On suppose bien sûr que les limites suivantes existent : , et représente soit ou .

Loi normale tronquée[modifier | modifier le code]

Loi normale centrée réduite tronquée en 2.
Comparaison de deux lois normales centrées réduites tronquées l'une en 1,5 (rouge) l'autre en 2,5 (bleue).

La loi tronquée la plus utilisée est la loi normale tronquée, obtenue à partir d'une loi normale. Elle est utilisée en économétrie dans le modèle Tobit et le modèle Probit, afin de modéliser respectivement les données censurées et les probabilités de choix binaire.

Si , et qu'on contraint X à appartenir à l'intervalle avec . Alors la densité tronquée est

avec est la densité de la loi normale standard, et sa fonction de répartition. On impose la convention que si , alors et de même, si , alors .

Les moments pour une double troncature sont

Pour une simple troncature, ces moments deviennent

et

avec

Troncature aléatoire[modifier | modifier le code]

Considérons la configuration suivante : une valeur de troncature, disons t, est tirée au hasard, depuis une densité de probabilité , non-observable. On observe alors une valeur tirée dans la densité tronquée . On souhaite, à partir de l'observation de , mieux connaître la densité de .

Par définition, on a déjà :

et

doit être plus grand que , et par conséquent, lorsqu'on intègre sur , il faut poser x comme borne inférieure.

Par le théorème de Bayes :

qui devient

Exemple : deux variables uniformes[modifier | modifier le code]

En supposant que t est uniformément distribuée sur [0;T] et que X|t est aussi uniformément distribuée, cette fois-ci sur [0;t]. Soit et les densités décrivant respectivement t et x. On suppose observer une valeur de x, et la distribution de t sachant x est

pour .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (5th ed.). Prentice Hall. (ISBN 0-13-066189-9)
  • Norman L. Johnson and Samuel Kotz (1970). Continuous univariate distributions-1, chap. 13. John Wiley & Sons.