Loi d'Erlang

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Erlang
Image illustrative de l'article Loi d'Erlang
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
Graphes de densités pour la distribution d'Erlang.

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Fonction de répartition
Graphes de fonctions de répartition pour la distribution d'Erlang.

Paramètres Paramètre de forme (entier)
intensité (réel)
alt.: paramètre d'échelle (réel)
Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Fonction de répartition
Espérance
Médiane pas de forme simple
Mode pour
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments pour
Fonction caractéristique

La distribution d'Erlang est une loi de probabilité continue, dont l'intérêt est dû à sa relation avec les distributions exponentielle et Gamma. Cette distribution a été développée par Agner Krarup Erlang afin de modéliser le nombre d'appels téléphoniques simultanés.

Généralité[modifier | modifier le code]

La distribution est continue et possède deux paramètres: le paramètre de forme , un entier, et le paramètre d'intensité , un réel. On utilise parfois une paramétrisation alternative, où on considère plutôt le paramètre d'échelle .

Lorsque le paramètre de forme vaut 1, la distribution se simplifie en la loi exponentielle.

La distribution d'Erlang est un cas spécial de la loi Gamma, où le paramètre de forme est un entier. Dans la loi Gamma, ce paramètre est réel positif.

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la distribution d'Erlang est

Le paramètre est le paramètre de forme, et le paramètre d'intensité. Une paramétrisation équivalente met en jeu le paramètre d'échelle , défini comme l'inverse de l'intensité (c'est-à-dire ):

La présence de la factorielle implique que k doit être un entier naturel.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la distribution d'Erlang est

est la fonction gamma incomplète. Cette fonction peut aussi s'écrire:

Occurrences[modifier | modifier le code]

Processus de renouvellement[modifier | modifier le code]

La distribution d'Erlang est la distribution de la somme de k variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi exponentielle de paramètre . Si chacune de ces variables aléatoires représente le temps au bout duquel un événement donné se produit (par une exemple, une intervention à la suite d'une panne sur un appareil sans usure et sans mémoire), alors la variable aléatoire au bout duquel le k-ème événement a lieu suit une loi d'Erlang de forme k et de paramètre .

Processus de Poisson[modifier | modifier le code]

Si l'on se donne un instant t, on montre que la variable aléatoire égale au nombre d'entiers k tels que suit une loi de Poisson de paramètre [1]. Dans l'interprétation ci-dessus, est le nombre d'interventions effectuées avant l'instant t.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Didier Dacunha-Castelle, Marie Duflo, Probabilités et statistiques, T.1, problèmes à temps fixe, Masson (1982)