Écart entre nombres premiers
En théorie des nombres, l'écart entre nombres premiers désigne la différence entre deux nombres premiers consécutifs.
De nombreux résultats et conjectures sont liés à cet objet. Par exemple la conjecture des nombres premiers jumeaux dit que la suite des écarts entre nombres premiers prend la valeur 2 un nombre infini de fois, et la conjecture de Polignac que cette suite prend un nombre infini de fois la valeur pour tout entier strictement positif .
Ainsi les 30 premiers écarts (suite A001223 de l'OEIS) sont :
- 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14.
Définition
[modifier | modifier le code]En notant pn le n-ième nombre premier, le n-ième écart est :
Ce qui permet aussi d'écrire
- .
Observations simples
[modifier | modifier le code]De même que , la suite (gn) est non bornée : si l'on note qn le produit p1…pn, tous les entiers de qn + 2 à qn + pn sont composés, puisque divisibles par l'un des [1].
Le premier écart, qui est à la fois le plus petit et le seul écart impair est 1, entre le seul nombre premier pair, 2, et le premier nombre premier impair, 3. Tous les autres écarts sont pairs.
(3, 5, 7) est l'unique triplet de nombres premiers consécutifs dont l'écart est 2.
Le plus petit nombre premier ayant un écart égal à avec le suivant augmente fortement (mais irrégulièrement) avec la valeur de ; par exemple, l'écart 906 apparaît pour la première fois après 218 209 405 436 543[2]. La suite des valeurs du plus petit tel que le nombre premier suivant soit : 3, 7, 23, 89, 139, 199, 113, 1831,... est répertoriée comme suite A000230 de l'OEIS.
Résultats et conjectures
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D'après le postulat de Bertrand, gn < pn.
Le théorème des nombres premiers suggère que gn est[3] asymptotiquement de l'ordre de ln n, et la conjecture de Cramér pronostique un comportement en le carré du logarithme[4]. La conjecture des nombres premiers jumeaux dit qu'elle prend la valeur 2 une infinité de fois.
L'écart le plus fréquent entre nombres premiers évolue selon la profondeur de l'analyse. En faisant le décompte des écarts jusqu'à 492, l'écart le plus fréquent est 2, puis il passe à 4 jusqu'à 564, puis enfin 6. On conjecture que ce serait ensuite 30, 210, 2310, … c'est-à-dire les primorielles de pn[5],[2].
Notes et références
[modifier | modifier le code]- ↑ G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Paris/Heidelberg, Vuibert-Springer, , 568 p. (ISBN 978-2-7117-7168-4), p. 6 et Édouard Lucas, Théorie des nombres, (lire en ligne), p. 359-361 (référence fournie par Hardy et Wright 2007, p. 12).
- Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers, Belin - Pour la Science, , p. 203 - 205
- ↑ Bruno Duchesne, « Deux grandes avancées autour des nombres premiers », sur Images des mathématiques, .
- ↑ (en) Harald Cramér, « On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers », Acta Arithmetica, vol. 2, , p. 23-46.
- ↑ Jean-Paul Delahaye, « Premiers jumeaux : frères ennemis ? », Pour la science, no 260, , p. 7 (lire en ligne).
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Lien externe
[modifier | modifier le code](en) Terence Tao, « Small and large gaps in the primes (slides) »,
