Postulat de Bertrand

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En mathématiques, le postulat de Bertrand affirme qu'entre un entier et son double, il existe toujours un nombre premier.

Plus précisément, l'énoncé usuel est le suivant :

Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que .

Le postulat de Bertrand est aussi connu sous le nom de théorème de Tchebychev, depuis que Pafnouti Tchebychev l’a démontré en 1850.

Énoncés[modifier | modifier le code]

  • L'énoncé usuel du postulat de Bertrand :
1. Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que .
est équivalent aux quatre suivants :
2. Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que .
3. Pour tout entier , , où est la fonction de compte des nombres premiers.
4. Pour tout indice , , où est la suite des nombres premiers.
5. Pour tout indice , , où est l’écart entre un nombre premier et le suivant.
ainsi qu'aux variantes obtenues en remplaçant, dans les énoncés 1 à 3, « pour tout entier » par « pour tout réel[1] ».
  • Celui formulé par Joseph Bertrand[2] était légèrement plus fort :Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que [3].
  • Le théorème démontré par Pafnouti Tchebychev est encore un peu plus fort :Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que [4],[5],[6].

Historique[modifier | modifier le code]

Le « postulat » (un terme tel qu’hypothèse ou conjecture, moins généraux, serait plus approprié) est énoncé pour la première fois en 1845 par Joseph Bertrand[7] dans une étude sur des groupes de permutations, après qu’il a vérifié sa validité pour tous les nombres inférieurs à 6 millions.

C’est Pafnouti Tchebychev qui obtient, en 1850, la première démonstration[8] : il utilise notamment un encadrement de la factorielle par des fonctions dérivées de la formule de Stirling ainsi que la fonction , définie par , où parcourt les nombres premiers inférieurs ou égaux à [9]. Depuis lors, le postulat s'appelle aussi « théorème de Tchebychev[10] » ou, plus rarement, « théorème de Bertrand-Tchebychev ».

Edmund Landau, en 1909, dans son ouvrage de synthèse des connaissances de l’époque sur la répartition des nombres premiers[11], reprend pour l’essentiel la démonstration de Tchebychev[9].

En 1919, Srinivasa Ramanujan donne du postulat de Bertrand une démonstration plus simple[12].

En 1932, Paul Erdős, à l’occasion de sa première publication, à l’âge de 19 ans, publie une démonstration entièrement élémentaire[10] dans laquelle il utilise les coefficients binomiaux. Pour son élégance, cette démonstration d’Erdős est l’une de celles retenues par Martin Aigner et Günter M. Ziegler dans leur livre Raisonnements divins[13].

Problèmes apparentés[modifier | modifier le code]

Résultats dérivés de la démonstration de Tchebychev[modifier | modifier le code]

L’essentiel de la démonstration de Tchebychev porte sur les assez grands, le complément consistant à démontrer la propriété directement pour les petits. L’énoncé est le suivant :

Pour tout , il existe un nombre tel que pour tout il existe au moins un nombre premier entre et .

Un axe de recherche consiste à réduire la valeur de  :

  • Tchebychev a obtenu en 1850[14] la valeur , soit 0,2 ;
  • James Joseph Sylvester améliore ce résultat en 1881[14],[15], et réduit à 0,16688 ;
  • et en 1891-1892[14],[15], à 0,092 ;
  • en 1893, Eugène Cahen croit avoir démontré que quand tend vers l’infini[16]. Un corollaire immédiat (que Stieltjes avait conjecturé)[17] est qu’on peut prendre arbitrairement petit (ou, ce qui n'est plus général qu'en apparence : que pour tout , la quantité de nombres premiers compris entre et tend vers l'infini avec )[14] ;
  • le théorème des nombres premiers, équivalent de façon élémentaire à , ne sera démontré qu'en 1896, par Hadamard et La Vallée Poussin ; les résultats supplémentaires de ce dernier, en 1899, permettent d'expliciter une solution en fonction de chaque [14].

Conjecture de Legendre[modifier | modifier le code]

Une conjecture similaire au postulat de Bertrand, mais non encore résolue, appelée conjecture de Legendre, affirme l'existence, pour tout entier , d'un nombre premier tel que . Elle touche à l'hypothèse de Riemann.

Théorème de Sylvester[modifier | modifier le code]

En 1891-1892, James Joseph Sylvester généralise l'énoncé usuel avec la proposition suivante[18] :

Le produit de entiers consécutifs strictement supérieurs à est divisible par un nombre premier strictement supérieur à .

Le postulat de Bertrand s'en déduit en considérant les entiers  : si l'un d'eux est divisible par un nombre premier , il est égal à .

Démonstration[modifier | modifier le code]

Notons l'ensemble des nombres premiers et définissons :

.

Voici le plan de la démonstration :

  • lemme de majoration de  ;
  • vérification explicite de la propriété pour n ≤ 630 ;
  • démonstration de la propriété (dans sa version usuelle) pour n > 630 (en utilisant le lemme).

Lemme de majoration de θ(x)[modifier | modifier le code]

Pour tout entier .

Démonstration du lemme, par récurrence

  • La propriété est vraie pour n = 1 :
  • La propriété est vraie pour n = 2 :
  • Soit N > 2. Supposons la majoration vraie pour tous les entiers positifs n < N et montrons-la pour n = N.
    • Si N > 2 est pair : . En effet, N, étant pair et différent de 2, n'est pas premier ; donc il y a autant de nombres premiers entre 1 et N qu'entre 1 et N – 1.
    • Si N > 2 est impair. Soit N = 2m+1 avec m > 0. Par la formule du binôme de Newton :
Chaque nombre premier p tel que m+1 < p ≤ 2m+1 divise , ce qui nous donne :
Par hypothèse de récurrence, , donc :

CQFD

Vérification pour n ≤ 630[modifier | modifier le code]

Si 2 ≤ n ≤ 630, on utilise le procédé de Landau :

considérons la suite de onze nombres premiers 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317 et 631, chacun étant strictement inférieur au double de son prédécesseur.

Il existe deux nombres consécutifs de cette liste, q et p, tels que

, donc et

De plus, par construction de cette liste, , ce qui, joint à , donne . On a donc bien

Preuve pour n > 630[modifier | modifier le code]

  • Mise en place de la stratégie

Par la formule du binôme,

Puisque est le plus grand terme de la somme, on en déduit : . Appelons le plus grand nombre x tel que divise . On a donc

avec

Pour minorer (afin de montrer que ), on va majorer . Il nous faut pour cela majorer les .

  • Calcul des R(p,n)

On désigne par la partie entière de , et par sa partie fractionnaire.

Puisque (d'après une formule de Legendre) n! possède facteurs égaux à p, on obtient :

  • Majoration de P1

Puisque chaque terme vaut soit 0 (lorsque ) soit 1 (lorsque ) et que tous les termes avec sont nuls, on obtient :

donc , donc

  • Majoration de P2

Pour , la somme dans R(p,n) est réduite à son premier terme, qui, comme déjà mentionné, vaut 0 ou 1. On a donc , d'où

la dernière inégalité venant du lemme.

  • Majoration de P3

En fait, (c'est le point clé de la preuve d'Erdös) car si alors

.
  • Synthèse

On aboutit à

,

c'est-à-dire

qui, en posant , se réécrit

.

Or donc , d'où , si bien que , ce qui achève la preuve.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en)/(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Bertrand's postulate » (voir la liste des auteurs) et en anglais « Proof of Bertrand's postulate » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) B. M. Bredikhin, « Bertrand postulate », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne) donne l'énoncé 1 avec : « pour tout  » (implicitement : réel).
  2. L'énoncé original de la page 129 de Joseph Bertrand, « Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme », Journal de l'École royale polytechnique, vol. 18, cahier 30,‎ , p. 123-140 (lire en ligne), est : « quel que soit un nombre supérieur à 6, il existe toujours un nombre premier, au moins, compris entre et . » Le contenu de cette page 129 permet de comprendre, sans ambiguïté possible, que est un entier, strictement supérieur à 6, et que le nombre premier doit vérifier les inégalités (stricte pour la première et large pour la seconde).
  3. C'est sous cette forme qu'est rappelé l'énoncé de Bertrand au début de P. Tchebichev, « Mémoire sur les nombres premiers », Journal de mathématiques pures et appliquées, 1e série, t. 17,‎ , p. 366-390 (lire en ligne) « (présenté à l'Académie impériale de Saint-Pétersbourg, en 1850) ». Cette reformulation est équivalente à l'énoncé original, précisé par la note précédente.
  4. Tchebichev 1852, p. 381-382.
  5. Bredikhin 2002.
  6. Ou, ce qui est équivalent : « Tchebychef a démontré le théorème suivant […] : Pour [ réel], il y a au moins un nombre premier compris [strictement] entre et . »Édouard Lucas, Théorie des nombres, (lire en ligne), p. 367.
  7. Bertrand 1845, p. 129.
  8. Tchebichev 1852 « (présenté à l'Académie impériale de Saint-Pétersbourg, en 1850) », publié en septembre[réf. souhaitée] 1852, pendant un voyage en Europe occidentale (France, Angleterre, Allemagne). La démonstration du postulat de Bertrand est contenue dans les pages 371-382.
  9. a et b Pour plus de détails, voir les sections « Conjecture de Gauss-Legendre » et « Postulat de Bertrand » de l'article sur Pafnouti Tchebychev.
  10. a et b (de) P. Erdős, « Beweis eines Satzes von Tschebyschef », Acta Sci. Math. (Szeged), vol. 5 (1930-1932),‎ , p. 194-198 (lire en ligne).
  11. (de) E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteiligung der Primzahlen, (lire en ligne).
  12. (en) S. Ramanujan, « A proof of Bertrand's postulate », Journal of the Indian Mathematical Society, XI, 1919, p. 181-182. — Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, 1927, p. 208-209 ; reprint. Chelsea Publishing Company, New York, 1962.
  13. Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, (lire en ligne), chap. 2 et 3, p. 7-18.
  14. a, b, c, d et e (de) E. Landau, lien Zentralblatt MATH.
  15. a et b (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. 1, 1919, p. 435.
  16. E. Cahen, « Sur la somme des logarithmes des nombres premiers qui ne dépassent pas n », CRAS, vol. 116,‎ , p. 85-88 (zbMATH 25.0265.01, lire en ligne). Le commentaire de Minkowski (JFM (de), Jahrgang 1893 und 1894, vol. 25, no 1, 1896, p. 265) reproduit dans zbMATH est sans appel, tandis que Dickson 1919, p. 436, ne remarque pas l'erreur.
  17. E. Cahen, « Sur un théorème de M. Stieltjes », CRAS, vol. 116,‎ , p. 490 (lire en ligne). Cahen reproduit cette note et la précédente p. 114-117 de « Sur la fonction ζ(s) de Riemann et sur des fonctions analogues », ASENS, vol. 11,‎ , p. 75-164 (lire en ligne).
  18. (en) Sylvester, « On arithmetical series, part I », Messenger Math., vol. 21, mai 1891-avril 1892, p. 1-19.

Bibliographie[modifier | modifier le code]