Conjecture d'Artin sur les racines primitives

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En théorie des nombres, la conjecture d'Artin est une conjecture sur la densité asymptotique des nombres premiers modulo lesquels un entier relatif a donné est une racine primitive. En termes simplistes, la conjecture d'Artin affirme que a est générateur pour environ 37 % des nombres premiers.

Formulation[modifier | modifier le code]

Plus précisément, notons S(a) l'ensemble des nombres premiers p tels que a engendre (ℤ/pℤ)*. Dans son journal, Helmut Hasse mentionne qu'Emil Artin lui a communiqué le 27 septembre 1927 la conjecture suivante (nous donnons ici une formulation plus précise due à Derrick Lehmer) :

Supposons que a est différent de –1 et n'est pas un carré (cas peu intéressants car S(a) est alors inclus dans {2, 3}) et notons c sa partie sans facteur carré (c'est-à-dire l'entier de plus petite valeur absolue tel que ac soit un carré). Alors :

  1. S(a) a une densité strictement positive parmi l'ensemble des nombres premiers. (Ceci implique en particulier que S(a) est infini.)
  2. Si a n'est pas une puissance et si c n'est pas congru à 1 modulo 4, cette densité est indépendante de a et égale à la constante d'Artin, qui s'exprime sous la forme du produit infini suivant :C_{Artin}(a)=C_{Artin}=\prod_{p\ \mathrm{premier}} \left(1-\frac1{p(p-1)}\right) = 0,3739558136\ldots
  3. Si a n'est pas une puissance et si c est congru à 1 modulo 4, alors la constante est multipliée par un autre produit, où μ désigne la fonction de Möbius :C_{Artin}(b^2 c)=  \left(1-\mu(c)\prod_{q\ \mathrm{premier},\ q|c} \frac{1}{1+q-q^2}\right)\times C_{Artin}.
  4. Si a = bk, alors la densité est multipliée par un facteur faisant intervenir la fonction multiplicative v définie par : v(qn) = q(q – 2)/(q2q – 1) pour tout nombre premier q :C_{Artin}(b^k)=v(k)\times C_{Artin}(b).

Exemple[modifier | modifier le code]

Par exemple, pour a = 2, la conjecture affirme que l'ensemble S(2) des nombres premiers p pour lesquels 2 est une racine primitive a la densité CArtin. Cet ensemble est la suite A001122 de l'OEIS :S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, …}. Il a 38 éléments plus petits que 500 et il y a 95 nombres premiers plus petits que 500. La proportion est donc 38/95 = 2/5 = 0,4 (et la conjecture affirme que cette proportion tend vers CArtin).

Preuves partielles[modifier | modifier le code]

En 1967, Christopher Hooley (en) a publié une preuve reposant sur l'hypothèse de Riemann généralisée[1] (dont la véracité n'est pas à ce jour établie). En 1984, Rajiv Gupta et M. Ram Murty (en) ont montré (indépendamment de toute hypothèse) que la conjecture d'Artin est vraie pour un nombre infini de valeurs de a, en utilisant une méthode de crible[2]. Roger Heath-Brown a amélioré ce résultat en montrant qu'il y a au plus deux trublions[3]. Ce résultat n'est pas une démonstration constructive et on ne connait donc pas la valeur ces trublions. Ainsi, si l'on considère a = 3, 5 ou 7, le théorème de Heath-Brown nous dit que la conjecture est vraie pour au moins l'une de ces valeurs, mais on ne sait pas dire laquelle. À ce jour, il n'y a d'ailleurs pas une seule valeur de a pour laquelle nous ayons une preuve que S(a) est infini.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Artin's conjecture on primitive roots » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Christopher Hooley, « On Artin's conjecture », J. Reine Angew. Math., vol. 225,‎ 1967, p. 209-220.
  2. (en) Rajiv Gupta et M. Ram Murty, « A remark on Artin's conjecture », Invent. Math., vol. 78, no 1,‎ 1984, p. 127-130.
  3. (en) D. R. Heath-Brown, « Artin's conjecture for primitive roots », Quart. J. Math. Oxford, 2e série, vol. 37,‎ 1986, p. 27-38 (DOI 10.1093/qmath/37.1.27).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Développement décimal périodique

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Pieter Moree (en), « Artin's primitive root conjecture – a survey », Integers, vol. 12A,‎ 2012, A13 (arXiv math/0412262)