En mathématiques , étant donné une suite de nombres complexes
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
, on définit le produit infini de la suite comme la limite , si elle existe, des produits partiels
a
0
a
1
…
a
N
{\displaystyle a_{0}a_{1}\dots a_{N}}
quand N tend vers l'infini ;
De même qu'une série utilise la lettre Σ , un produit infini utilise la lettre grecque Π (pi majuscule) :
a
0
⋅
a
1
⋅
a
2
⋯
=
∏
n
=
0
∞
a
n
=
def
lim
N
→
∞
∏
n
=
0
N
a
n
{\displaystyle a_{0}\cdot a_{1}\cdot a_{2}\dots =\prod _{n=0}^{\infty }a_{n}{\overset {\text{def}}{=}}\lim _{N\to \infty }\displaystyle \prod _{n=0}^{N}a_{n}}
.
Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls[ 1] , on dit que le produit infini, noté
∏
a
n
{\textstyle \prod a_{n}}
, converge quand la suite des produits partiels
(
∏
n
=
0
N
a
n
)
N
{\displaystyle \left(\prod _{n=0}^{N}a_{n}\right)_{N}}
converge vers une limite non nulle ; sinon, on dit que le produit infini diverge[ 2] , [ 3] .
Si le produit infini converge, alors la suite de ses termes converge vers 1 :
(
∃
l
∈
C
∗
∏
n
=
0
∞
a
n
=
l
)
⇒
lim
n
→
+
∞
a
n
=
1
{\displaystyle \left(\exists l\in \mathbb {C} ^{*}\quad \prod _{n=0}^{\infty }a_{n}=l\right)\Rightarrow \lim _{n\to +\infty }a_{n}=1}
.
La réciproque est fausse (comme le montre le contre-exemple an = e1/n ).
Pour étudier les produits infinis, on passe le plus souvent par le logarithme pour « transformer » le produit infini en une somme infinie, plus manipulable.
Puisque an tend vers 1, il existe un rang
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
tel que
∀
n
⩾
N
|
a
n
−
1
|
<
1
{\displaystyle \forall n\geqslant N\quad |a_{n}-1|<1}
. On peut donc appliquer le logarithme complexe , et l'on a
∏
n
=
N
∞
a
n
=
exp
(
∑
n
=
N
∞
ln
a
n
)
{\displaystyle \prod _{n=N}^{\infty }a_{n}=\exp \left(\sum _{n=N}^{\infty }\ln a_{n}\right)}
.
Le produit infini converge si et seulement si la série de droite converge.
On peut ainsi plus facilement étudier la convergence de produits infinis en s'appuyant sur les critères de convergence des sommes infinies .
Un produit
∏
a
n
{\textstyle \prod a_{n}}
est dit absolument convergent si la série
∑
ln
(
a
n
)
{\textstyle \sum \ln(a_{n})}
l'est, autrement dit si
∑
n
|
ln
(
a
n
)
|
<
+
∞
{\displaystyle \sum _{n}|\ln(a_{n})|<+\infty }
. Un produit absolument convergent est donc convergent[ 4] , et il est de plus commutativement convergent [ 3] .
On verra dans les exemples que la condition sur
∑
b
n
2
{\textstyle \sum b_{n}^{2}}
est importante[ 3] .
Comme
∏
n
=
2
N
(
1
−
1
n
)
=
1
/
N
{\displaystyle \prod _{n=2}^{N}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)=1/N}
, le produit infini
∏
n
=
2
∞
(
1
−
1
n
)
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}
diverge vers 0. On en déduit la divergence de la série harmonique .
Idem pour
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}
qui diverge vers l'infini.
La divergence de la série des inverses des nombres premiers ,
∑
n
=
1
∞
1
p
n
=
+
∞
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}=+\infty }
entraine celle des deux produits infinis correspondants :
∏
n
=
1
∞
(
1
−
1
p
n
)
=
0
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p_{n}}}\right)=0}
et
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
p
n
)
=
+
∞
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{p_{n}}}\right)=+\infty }
.
∏
n
=
2
∞
(
1
+
(
−
1
)
n
n
)
=
0
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1+{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}\right)=0}
(car
a
2
p
a
2
p
+
1
=
1
−
1
2
p
+
o
(
1
p
)
{\displaystyle a_{2p}a_{2p+1}=1-{\frac {1}{2p}}+o\left({\frac {1}{p}}\right)}
) mais on peut noter que
∑
(
−
1
)
n
n
{\textstyle \sum {\tfrac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}}
converge.
∏
n
=
2
∞
(
1
+
(
−
1
)
n
n
)
=
1
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1+{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right)=1}
car
(
1
+
1
2
p
)
(
1
−
1
2
p
+
1
)
=
1
{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{2p}}\right)\left(1-{\frac {1}{2p+1}}\right)=1}
mais
∑
|
ln
(
1
+
(
−
1
)
n
n
)
|
{\textstyle \sum \left\vert \ln \left(1+{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right)\right\vert }
diverge. Dans ce cas
∑
(
−
1
)
n
n
{\textstyle \sum {\frac {(-1)^{n}}{n}}}
converge également.
Il existe des exemples de produit
∏
(
1
+
b
n
)
{\textstyle \prod (1+b_{n})}
convergents où la série
∑
b
n
{\textstyle \sum b_{n}}
est divergente [ 3] .
Parmi les exemples les plus connus de produits infinis se trouvent les formules suivantes exprimant des constantes mathématiques classiques :
π
2
=
2
2
⋅
2
2
+
2
⋅
2
2
+
2
+
2
⋯
=
∏
n
=
2
∞
1
cos
(
π
2
n
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}\cdots =\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{\cos \left({\frac {\pi }{2^{n}}}\right)}}}
(formule de Viète (1593) — il s'agit du premier produit infini apparu dans l'histoire des mathématiques)
π
2
=
2
×
2
1
×
3
⋅
4
×
4
3
×
5
⋅
6
×
6
5
×
7
⋯
=
∏
n
=
1
∞
(
4
n
2
4
n
2
−
1
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2\times 2}{1\times 3}}\cdot {\frac {4\times 4}{3\times 5}}\cdot {\frac {6\times 6}{5\times 7}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)}
(produit de Wallis (1655) )
π
2
6
=
2
2
2
2
−
1
⋅
3
2
3
2
−
1
⋅
5
2
5
2
−
1
⋯
=
∏
p
premier
p
2
p
2
−
1
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\cdot {\frac {3^{2}}{3^{2}-1}}\cdot {\frac {5^{2}}{5^{2}-1}}\cdots =\prod _{p{\text{ premier}}}{\frac {p^{2}}{p^{2}-1}}}
(dû à Euler, voir produit eulérien )
π
4
=
3
3
+
1
⋅
5
5
−
1
⋅
7
7
+
1
⋅
11
11
+
1
⋅
13
13
−
1
⋯
=
∏
p
premier impair
p
p
+
(
−
1
)
(
p
+
1
)
/
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{3+1}}\cdot {\frac {5}{5-1}}\cdot {\frac {7}{7+1}}\cdot {\frac {11}{11+1}}\cdot {\frac {13}{13-1}}\cdots =\prod _{p{\text{ premier impair}}}{\frac {p}{p+(-1)^{(p+1)/2}}}}
(dû à Euler, voir produit eulérien )
2
=
2
×
2
1
×
3
⋅
6
×
6
5
×
7
⋅
10
×
10
9
×
11
⋯
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
(
−
1
)
n
2
n
−
1
)
=
∏
n
=
0
∞
(
(
4
n
+
2
)
2
(
4
n
+
1
)
(
4
n
+
3
)
)
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
1
(
4
n
+
1
)
(
4
n
+
3
)
)
{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {2\times 2}{1\times 3}}\cdot {\frac {6\times 6}{5\times 7}}\cdot {\frac {10\times 10}{9\times 11}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\right)=\prod _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(4n+2)^{2}}{(4n+1)(4n+3)}}\right)=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{(4n+1)(4n+3)}}\right)}
(Euler (1796)[ 5] , Catalan (1875)[ 6] )
e
=
2
1
4
3
6
×
8
5
×
7
10
×
12
×
14
×
16
9
×
11
×
13
×
15
⋯
{\displaystyle \mathrm {e} ={\frac {2}{1}}{\sqrt {\frac {4}{3}}}{\sqrt {\sqrt {\frac {6\times 8}{5\times 7}}}}{\sqrt {\sqrt {\sqrt {\frac {10\times 12\times 14\times 16}{9\times 11\times 13\times 15}}}}}\cdots }
(Catalan (1875)[ 7] )
e
=
∏
n
=
1
∞
a
n
+
1
a
n
=
2
1
⋅
5
4
⋅
16
15
⋅
65
64
⋯
{\displaystyle \mathrm {e} =\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}+1}{a_{n}}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {65}{64}}\cdots }
où
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
est définie par
a
0
=
0
,
a
n
=
n
(
a
n
−
1
+
1
)
{\displaystyle a_{0}=0,a_{n}=n(a_{n-1}+1)}
, suite A007526 ; la formule vient du fait que
∏
n
=
1
N
a
n
+
1
a
n
=
∑
n
=
0
N
1
n
!
{\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}+1}{a_{n}}}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{n!}}}
ln
2
=
∏
n
=
1
∞
2
1
+
2
1
/
2
n
=
2
1
+
2
⋅
2
1
+
2
⋅
2
1
+
2
⋅
⋯
{\displaystyle \ln 2=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{1+2^{1/2^{n}}}}={\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {2}{1+{\sqrt {\sqrt {2}}}}}\cdot {\frac {2}{1+{\sqrt {\sqrt {\sqrt {2}}}}}}\cdot \cdots }
(Seidel (1871))
2
=
∏
n
⩾
0
(
2
n
+
2
2
n
+
1
)
(
−
1
)
t
n
=
2
1
×
3
4
×
5
6
×
8
7
×
.
.
.
{\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{n\geqslant 0}\left({\frac {2n+2}{2n+1}}\right)^{(-1)^{t_{n}}}={\frac {2}{1}}\times {\frac {3}{4}}\times {\frac {5}{6}}\times {\frac {8}{7}}\times ...}
où
(
t
n
)
{\displaystyle (t_{n})}
est la suite de Prouhet-Thue-Morse [ 8] , [ 9] , [ 10]
2
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
1
a
n
)
=
(
1
+
1
3
)
(
1
+
1
17
)
(
1
+
1
577
)
⋯
{\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}=\left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{17}}\right)\left(1+{\frac {1}{577}}\right)\cdots }
, avec
a
0
=
3
{\displaystyle a_{0}=3}
et
a
n
+
1
=
2
a
n
2
−
1
{\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1}
, produit infini de Cantor (1869).
Un produit infini convergent « naturel » peut s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles ou aboutir à la création de nouvelles constantes, par exemple[ 11] :
∏
n
=
0
∞
(
1
+
x
2
n
)
=
1
1
−
x
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+x^{2^{n}}\right)}={1 \over {1-x}},|x|<1}
mais on a seulement
∏
n
=
0
∞
(
1
−
x
2
n
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
t
n
x
n
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }{\left(1-x^{2^{n}}\right)}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{t_{n}}x^{n},|x|<1}
, où
(
t
n
)
{\displaystyle (t_{n})}
est la suite de Prouhet-Thue-Morse
ainsi que
∏
n
=
1
∞
(
1
−
x
n
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
x
n
(
3
n
−
1
)
/
2
=
1
∑
n
=
0
∞
p
(
n
)
x
n
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}={\frac {1}{\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}}},|x|<1}
, où
p
(
n
)
{\displaystyle p(n)}
est le nombre de partitions de n , fonction d'Euler
∏
n
=
2
∞
(
1
−
1
n
2
)
=
1
2
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }{\left(1-{1 \over n^{2}}\right)}={1 \over 2}}
, produit télescopique
∏
n
=
1
∞
(
1
−
1
(
a
n
)
2
)
=
a
π
sin
π
a
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{1 \over (an)^{2}}\right)}={\frac {a}{\pi }}\sin {\frac {\pi }{a}}}
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
m
)
=
∏
ω
m
=
−
1
1
Γ
(
−
ω
)
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over n^{m}}\right)}=\prod _{\omega ^{m}=-1}{\frac {1}{\Gamma (-\omega )}}}
, m entier
⩾
2
{\displaystyle \geqslant 2}
, en particulier :
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
2
)
=
sinh
π
π
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over n^{2}}\right)}={\sinh \pi \over \pi }}
, constante A156648 ,
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
3
)
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
(
n
+
1
)
)
=
cosh
π
3
2
π
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over n^{3}}\right)}=\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over {n(n+1)}}\right)}={\frac {\cosh {\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}}{\pi }}}
, constante A073017
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
4
)
=
cosh
π
2
−
cos
π
2
2
π
2
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over n^{4}}\right)}={\frac {\cosh \pi {\sqrt {2}}-\cos \pi {\sqrt {2}}}{2\pi ^{2}}}}
, constante A258870
∏
n
=
2
∞
(
1
−
1
n
(
n
+
1
)
)
=
sin
(
π
/
φ
)
π
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }{\left(1-{1 \over {n(n+1)}}\right)}={\frac {\sin(\pi /\varphi )}{\pi }}}
où
φ
{\displaystyle \varphi }
est le nombre d'or , constante A146481
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
4
n
(
n
+
1
)
)
=
4
π
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over {4n(n+1)}}\right)}={\frac {4}{\pi }}}
∏
p
premier
(
1
−
1
p
2
)
=
1
ζ
(
2
)
=
6
π
2
{\displaystyle \prod _{p{\text{ premier}}}{\left(1-{1 \over p^{2}}\right)}={1 \over \zeta (2)}={6 \over \pi ^{2}}}
, constante A059956 ;
∏
p
premier
(
1
+
1
p
2
)
=
15
π
2
{\displaystyle \prod _{p{\text{ premier}}}{\left(1+{1 \over p^{2}}\right)}={15 \over \pi ^{2}}}
, constante A082020
∏
p
p
r
e
m
i
e
r
(
1
−
1
p
(
p
−
1
)
)
=
0
,
3739558136
…
{\displaystyle \prod _{p\ \mathrm {premier} }\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0,3739558136\ldots }
, constante d'Artin ;
∏
p
premier
(
1
+
1
p
(
p
−
1
)
)
=
ζ
(
2
)
⋅
ζ
(
3
)
ζ
(
6
)
{\displaystyle \prod _{p{\text{ premier}}}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\cdot \zeta (3)}{\zeta (6)}}}
, sommes des inverses des nombres puissants .
∏
p
premier impair
(
1
−
1
(
p
−
1
)
2
)
=
0
,
660161
…
{\displaystyle \prod _{p\ {\text{premier impair}}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)=0,660161\ldots }
, constante des nombres premiers jumeaux , A005597
∏
n
=
3
∞
cos
π
n
=
0,114
9420448
…
{\displaystyle \prod _{n=3}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{n}}=0{,}1149420448\dots }
, constante de Kepler-Bouwkamp
∏
n
=
1
∞
cosh
1
n
=
2,116
4655365
…
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\cosh {\frac {1}{n}}=2{,}1164655365\dots }
, constante A249673
∏
n
=
2
∞
e
(
1
−
1
n
2
)
n
2
=
π
e
3
/
2
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\mathrm {e} {\left(1-{1 \over n^{2}}\right)^{n^{2}}}={\pi \over \mathrm {e} ^{3/2}}}
, constante A240984 .
sin
z
=
z
∏
n
=
1
∞
cos
z
2
n
{\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }{\cos {\frac {z}{2^{n}}}}}
[ 12] .
On en déduit la formule de Viète ci-dessus en posant z = π/2 .
En changeant z en iz , on obtient :
sinh
z
=
z
∏
n
=
1
∞
cosh
z
2
n
{\displaystyle \sinh z=z\prod _{n=1}^{\infty }{\cosh {\frac {z}{2^{n}}}}}
.
En prenant
z
=
ln
x
{\displaystyle z=\ln x}
dans la formule précédente, on obtient le développement de Seidel du logarithme[ 13] , [ 14] :
ln
x
=
(
x
−
1
)
∏
n
=
1
∞
2
1
+
x
1
/
2
n
{\displaystyle \ln x=(x-1)\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{1+x^{1/2^{n}}}}}
, formule donnant, pour x = 2 , l'expression de ln 2 ci-dessus.
ζ
(
z
)
=
∑
n
⩾
1
1
n
z
=
∏
p
premier
p
z
p
z
−
1
{\displaystyle \zeta (z)=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {1}{n^{z}}}=\prod _{p\operatorname {premier} }{\frac {p^{z}}{p^{z}-1}}}
pour Re(z ) > 1 , développement de la fonction zêta de Riemann en produit eulérien , donnant pour z = 2 le développement de π2 /6 ci-dessus.
∑
n
⩾
0
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
z
=
∏
p
premier
impair
p
z
p
z
+
(
−
1
)
(
p
−
1
)
2
{\displaystyle \sum _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{z}}}=\prod _{p\operatorname {premier} \operatorname {impair} }{\frac {p^{z}}{p^{z}+(-1)^{(p-1) \over 2}}}}
pour Re(z ) > 1 , donnant, pour z → 1 , le développement de π/4 ci-dessus.
Un résultat majeur sur les produits infinis est le fait que toute fonction entière f (toute fonction holomorphe sur le plan complexe tout entier) se factorise en un produit infini de fonctions entières, ayant chacune au plus un zéro (s'annulant chacune au plus en une valeur).
En général, si f a un zéro d'ordre m à l'origine et d'autres zéros en
u
0
,
u
1
,
u
2
,
…
{\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\dots }
(comptés avec multiplicité), alors :
f
(
z
)
=
z
m
e
φ
(
z
)
∏
n
=
0
∞
(
1
−
z
u
n
)
exp
{
z
u
n
+
(
z
u
n
)
2
+
⋯
+
(
z
u
n
)
λ
n
}
{\displaystyle f(z)=z^{m}\;{\rm {e}}^{\varphi (z)}\;\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\;\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace }
où les exposants
λ
n
{\displaystyle \lambda _{n}}
sont des entiers positifs qui peuvent être choisis pour assurer la convergence de la série, et
φ
(
z
)
{\displaystyle \varphi (z)}
est une fonction analytique uniquement déterminée (ce qui signifie que le terme devant le produit ne s'annule pas sur le plan complexe).
Cette factorisation n'est pas unique, car elle dépend du choix des
λ
n
{\displaystyle \lambda _{n}}
et n'est pas particulièrement élégante. Cependant, pour la plupart des fonctions, il existe un entier p minimal tel que le choix constant
λ
n
=
p
{\displaystyle \lambda _{n}=p}
donne un produit qui converge, appelé la forme produit canonique et, lorsque p = 1 convient, on obtient :
f
(
z
)
=
z
m
e
φ
(
z
)
∏
n
=
0
∞
(
1
−
z
u
n
)
{\displaystyle f(z)=z^{m}\;{\rm {e}}^{\varphi (z)}\;\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)}
.
Ceci peut-être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'algèbre car ce produit devient fini dans le cas des polynômes et lorsque
φ
{\displaystyle \varphi }
est une fonction constante . Cette forme est équivalente à celle donnée par le théorème de factorisation de Weierstrass .
On peut donner comme exemples remarquables les formules suivantes :
sin
π
z
=
π
z
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
n
2
)
{\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}
Formule due à Euler — le développement de Wallis pour π et celui de √2 ainsi que la valeur de
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
2
)
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over n^{2}}\right)}}
ci-dessus est issue de cette identité.
cos
π
z
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
(
n
−
1
2
)
2
)
{\displaystyle \cos \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}
Voir [ 15]
1
/
Γ
(
z
)
=
z
e
γ
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
e
−
z
/
n
{\displaystyle 1/\Gamma (z)=z\;\mathrm {e} ^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;\mathrm {e} ^{-z/n}}
Formule due à Schlömilch — la valeur de
∏
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
m
)
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over n^{m}}\right)}}
ci-dessus est issue de cette identité.
Pour un produit infini divergent, on peut chercher un équivalent du produit partiel. Par exemple, on a pour tout
a
∈
C
∖
{
0
,
−
1
,
−
2
,
…
}
{\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}}
:
∏
k
=
1
n
(
1
+
a
k
)
∼
n
→
+
∞
n
a
Γ
(
a
+
1
)
{\displaystyle \displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {a}{k}}\right){\underset {n\to +\infty }{\sim }}{\frac {n^{a}}{\Gamma (a+1)}}}
avec
Γ
{\displaystyle \Gamma }
la fonction gamma d'Euler définie dans
C
∖
{
0
,
−
1
,
−
2
,
…
}
{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}}
par la définition d'Euler en produit infini . L'équivalent se trouve après quelques manipulations faciles.
Notons que si
a
∈
{
0
,
−
1
,
−
2
,
…
}
{\displaystyle a\in \{0,-1,-2,\ldots \}}
, le produit infini est alors trivialement convergent (il vaut
1
{\displaystyle 1}
si
a
=
0
{\displaystyle a=0}
et
0
{\displaystyle 0}
sinon).
Donnons deux équivalents classiques découlant de cette formule, en usant des valeurs classiques
Γ
(
3
2
)
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}
et
Γ
(
1
2
)
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}
, il vient :
∏
k
=
1
n
(
1
+
1
2
k
)
∼
2
π
π
n
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {1}{2k}}\right)\sim {\frac {2{\sqrt {\pi }}}{\pi }}{\sqrt {n}}}
∏
k
=
1
n
(
1
−
1
2
k
)
∼
π
π
1
n
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)\sim {\frac {\sqrt {\pi }}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {n}}}}
↑ Si l'un des termes de la suite est nul, on ne parle en général pas de convergence, bien que la suite des produits partiels soit alors une suite stationnaire .
↑ Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse , vol. 2 : Analyse complexe , PPUR , 1997 (lire en ligne ) , p. 345 .
↑ a b c et d Jacqueline Lelong-Ferrand , Jean-Marie Arnaudiès , Cours de mathématiques tome 2, Analyse , Dunod Université, 1977 , p. 291-296
↑ Chatterji 1997 , p. 348-349.
↑ Léonard Euler, Introduction à l'analyse infinitésimale , t. 1, 1796 (lire en ligne ) , p. 142 .
↑ E. Catalan, « Sur la constante d'Euler et la fonction de Binet », Journal de mathématiques pures et appliquées , 1875 , p. 236 (lire en ligne ) , p. 236.
↑ Catalan 1875 , p. 231.
↑ (en) D. R. Woods, « Elementary problem proposal E 2692 », Amer. Math. Monthly , vol. 85, 1978 , p. 48 .
↑ (en) D. Robbins, « Solution to Problem E 2692 », Amer. Math. Monthly , vol. 86, 1979 , p. 394-395 .
↑ Jean Moussa, « Quelques propriétés associées à la suite de Prouhet-Thue-Morse », Bulletin de l'APMEP , mars-avril 2016 , p. 199-206 (lire en ligne ) .
↑ (en) Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; Marichev, O. I., Integrals and Series, Vol. 1: Elementary Functions , New York, Gordon & Breach, 1986 , p. 753-757
↑ Pour une démonstration, voir par exemple ce produit télescopique ou cet exercice corrigé sur Wikiversité .
↑ (de) Ludwig Seidel, « Uber eine Darstellung de Logarithmus durch unendliche Produkte », Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1871 , p. 273-277 (lire en ligne ) .
↑ (en) Paul Loya, Amazing and Aesthetic Aspects of Analysis , 2006 , 508 p. (lire en ligne ) , p. 354 .
↑ L. Dreyfus, « Définition de sin z par un produit infini », Nouvelles annales de mathématiques , 1904 , p. 147-156 (lire en ligne ) .
(en) Eric W. Weisstein , « Infinite Product », sur MathWorld