Produit infini

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

En mathématiques, pour une suite de nombres complexes , on définit le produit infini comme la limite des produits partiels quand tend vers l'infini.

Convergence de produit infini[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls, on dit que le produit infini converge quand la limite des produits finis existe et est non nulle[1] ; autrement, on dit que le produit infini diverge.

Si l'un des termes de la suite est nul, on ne parle pas en général de convergence, bien que les produits partiels stationnent à 0.

On dit qu'un produit converge absolument si est convergent[2].

En cas de convergence[modifier | modifier le code]

Si le produit infini converge, alors la suite de ses termes converge vers 1 :

.

La réciproque est fausse.

Méthode d'étude classique[modifier | modifier le code]

Pour étudier les produits infinis, on passe le plus souvent par le logarithme pour « transformer » le produit infini en une somme infinie, plus manipulable.

Puisque tend vers 1, il existe un rang tel que . On peut donc appliquer le logarithme complexe, et l'on a

.

Le produit infini converge si et seulement si la série de droite converge. On peut ainsi plus facilement étudier la convergence de produits infinis en s'appuyant sur les critères de convergence des sommes infinies.

Un produit converge absolument si et seulement si  ; un produit absolument convergent est convergent[2].

Exemples[modifier | modifier le code]

Parmi les exemples les plus connus de produits infinis, on a les formules suivantes exprimant les constantes mathématiques classiques :

  • (formule de Viète (1593) — il s'agit du premier produit infini apparu dans l'histoire des mathématiques) ;
  • (produit de Wallis (1655))
  • (Euler, voir produit eulérien)
  • (Euler, voir produit eulérien)
  • (Euler (1796)[3], Catalan (1873))
  • (Catalan (1873))
  • est définie par , suite A007526 ; la formule vient du fait que .
  • (Seidel (1871))

Fonctions exprimées comme produits infinis[modifier | modifier le code]

Premiers exemples[modifier | modifier le code]

On en déduit la formule de Viète ci-dessus en posant .

En changeant en , on obtient :

En prenant dans la formule précédente, on obtient le développement de Seidel du logarithme[4],[5]:

  • , formule donnant, pour l'expression de ci-dessus.
  • pour , développement de la fonction zêta de Riemann en produit eulérien, donnant pour le développement de ci-dessus.
  • pour , donnant, pour , le développement de ci-dessus.

Factorisation de fonctions holomorphes sur le plan complexe[modifier | modifier le code]

Un résultat majeur sur les produits infinis est le fait que toute fonction entière (toute fonction holomorphe sur le plan complexe tout entier) se factorise en un produit infini de fonctions entières, ayant chacune au plus un zéro (s'annulant chacune au plus en une valeur).

En général, si a un zéro d'ordre à l'origine et d'autres zéros en (comptés avec multiplicité), alors :

où les exposants sont des entiers positifs qui peuvent être choisis pour assurer la convergence de la série, et est une fonction analytique uniquement déterminée (ce qui signifie que le terme devant le produit ne s'annule pas sur le plan complexe).

Cette factorisation n'est pas unique, car elle dépend du choix des et n'est pas particulièrement élégante. Cependant, pour la plupart des fonctions, il existe un entier minimal tel que le choix constant donne un produit qui converge, appelé la forme produit canonique et, lorsque convient, on obtient :

.

Ceci peut-être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'algèbre car ce produit devient fini dans le cas des polynômes et lorsque est une fonction constante. Cette forme est équivalente à celle donnée par le théorème de factorisation de Weierstrass.

Exemples remarquables[modifier | modifier le code]

On peut donner comme exemples remarquables les formules suivantes :

Euler — le développement de Wallis pour et celui de ci-dessus sont issus de cette identité.

Voir [6]

Schlömilch

Référence[modifier | modifier le code]

  1. Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse, vol. 2 : Analyse complexe, PPUR, (lire en ligne), p. 345.
  2. a et b Chatterji 1997, p. 348-349.
  3. Léonard Euler, Introduction à l'analyse infinitésimale. Tome 1, (lire en ligne), p. 142
  4. (de) Ludwig Seidel, « Uber eine Darstellung de Logarithmus durch unendliche Produkte », Journal für die reine und angewandte Mathematik,‎ , p. 273-277 (lire en ligne)
  5. (en) Paul Loya, Amazing and Aesthetic Aspects of Analysis, , 508 p. (lire en ligne), p. 354
  6. L. DREYFUS, « Définition de sin z par un produit infini », Nouvelles annales de mathématiques,‎ , p. 147-156 (lire en ligne)

Articles connexes[modifier | modifier le code]