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Produit infini

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En mathématiques, étant donné une suite de nombres complexes , on définit le produit infini de la suite comme la limite, si elle existe, des produits partiels quand N tend vers l'infini ;

De même qu'une série utilise la lettre Σ, un produit infini utilise la lettre grecque Π (pi majuscule) :

.

Convergence d'un produit infini

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Définition

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Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls[1], on dit que le produit infini, noté , converge quand la suite des produits partiels converge vers une limite non nulle ; sinon, on dit que le produit infini diverge[2],[3].

En cas de convergence

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Si le produit infini converge, alors la suite de ses termes converge vers 1 :

.

La réciproque est fausse (comme le montre le contre-exemple an = e1/n).

Méthode d'étude classique

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Pour étudier les produits infinis, on passe le plus souvent par le logarithme pour « transformer » le produit infini en une somme infinie, plus manipulable.

Puisque an tend vers 1, il existe un rang tel que . On peut donc appliquer le logarithme complexe, et l'on a

.

Le produit infini converge si et seulement si la série de droite converge.

On peut ainsi plus facilement étudier la convergence de produits infinis en s'appuyant sur les critères de convergence des sommes infinies.

Produit absolument convergent

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Un produit est dit absolument convergent si la série l'est, autrement dit si . Un produit absolument convergent est donc convergent[4], et il est de plus commutativement convergent [3].

Théorème — Un produit est absolument convergent si et seulement si la série l'est, autrement dit si

Dans le cas où la série est convergente, le produit est convergent si et seulement si la série l'est.

On verra dans les exemples que la condition sur est importante[3].

Exemples de produits infinis divergents

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  • Comme , le produit infini diverge vers 0. On en déduit la divergence de la série harmonique.
  • Idem pour qui diverge vers l'infini.
  • La divergence de la série des inverses des nombres premiers, entraine celle des deux produits infinis correspondants : et .
  • (car ) mais on peut noter que converge.

Exemples de produits infinis qui convergent, mais non absolument

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  • car mais diverge. Dans ce cas converge également.
  • Il existe des exemples de produit convergents où la série est divergente [3].

Exemples de produits infinis convergents classiques

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Parmi les exemples les plus connus de produits infinis se trouvent les formules suivantes exprimant des constantes mathématiques classiques :

  • (formule de Viète (1593) — il s'agit du premier produit infini apparu dans l'histoire des mathématiques)
  • (produit de Wallis (1655))
  • (dû à Euler, voir produit eulérien)
  • (dû à Euler, voir produit eulérien)
  • (Euler (1796)[5], Catalan (1875)[6])
  • (Catalan (1875)[7])
  • est définie par , suite OEISA007526 ; la formule vient du fait que
  • (Seidel (1871))
  • est la suite de Prouhet-Thue-Morse[8],[9],[10]
  • , avec et , produit infini de Cantor (1869).

Autres exemples

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Un produit infini convergent « naturel » peut s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles ou aboutir à la création de nouvelles constantes, par exemple[11] :

  • mais on a seulement , où est la suite de Prouhet-Thue-Morse
  • ainsi que , où est le nombre de partitions de n, fonction d'Euler
  • , produit télescopique
  • , m entier , en particulier :
    • , constante OEISA156648,
    • , constante OEISA073017
    • , constante OEISA258870
  • est le nombre d'or, constante OEISA146481
  • , constante OEISA059956 ; , constante OEISA082020
  • , constante d'Artin ; , sommes des inverses des nombres puissants.
  • , constante des nombres premiers jumeaux, OEISA005597
  • , constante de Kepler-Bouwkamp
  • , constante OEISA249673
  • , constante OEISA240984.

Fonctions exprimées comme produits infinis

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Premiers exemples

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  • [12].

On en déduit la formule de Viète ci-dessus en posant z = π/2.

En changeant z en iz, on obtient :

  • .

En prenant dans la formule précédente, on obtient le développement de Seidel du logarithme[13],[14]:

  • , formule donnant, pour x = 2, l'expression de ln 2 ci-dessus.
  • pour Re(z) > 1, développement de la fonction zêta de Riemann en produit eulérien, donnant pour z = 2 le développement de π2/6 ci-dessus.
  • pour Re(z) > 1, donnant, pour z → 1, le développement de π/4 ci-dessus.

Factorisation de fonctions holomorphes sur le plan complexe

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Un résultat majeur sur les produits infinis est le fait que toute fonction entière f (toute fonction holomorphe sur le plan complexe tout entier) se factorise en un produit infini de fonctions entières, ayant chacune au plus un zéro (s'annulant chacune au plus en une valeur).

En général, si f a un zéro d'ordre m à l'origine et d'autres zéros en (comptés avec multiplicité), alors :

où les exposants sont des entiers positifs qui peuvent être choisis pour assurer la convergence de la série, et est une fonction analytique uniquement déterminée (ce qui signifie que le terme devant le produit ne s'annule pas sur le plan complexe).

Cette factorisation n'est pas unique, car elle dépend du choix des et n'est pas particulièrement élégante. Cependant, pour la plupart des fonctions, il existe un entier p minimal tel que le choix constant donne un produit qui converge, appelé la forme produit canonique et, lorsque p = 1 convient, on obtient :

.

Ceci peut-être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'algèbre car ce produit devient fini dans le cas des polynômes et lorsque est une fonction constante. Cette forme est équivalente à celle donnée par le théorème de factorisation de Weierstrass.

Exemples remarquables

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On peut donner comme exemples remarquables les formules suivantes :

Formule due à Euler — le développement de Wallis pour π et celui de 2 ainsi que la valeur de ci-dessus est issue de cette identité.

Voir [15]

Formule due à Schlömilch — la valeur de ci-dessus est issue de cette identité.

Équivalent d'un produit infini divergent classique

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Pour un produit infini divergent, on peut chercher un équivalent du produit partiel. Par exemple, on a pour tout  :

avec la fonction gamma d'Euler définie dans par la définition d'Euler en produit infini. L'équivalent se trouve après quelques manipulations faciles.

Notons que si , le produit infini est alors trivialement convergent (il vaut si et sinon).

Donnons deux équivalents classiques découlant de cette formule, en usant des valeurs classiques et , il vient :

Notes et références

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  1. Si l'un des termes de la suite est nul, on ne parle en général pas de convergence, bien que la suite des produits partiels soit alors une suite stationnaire.
  2. Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse, vol. 2 : Analyse complexe, PPUR, (lire en ligne), p. 345.
  3. a b c et d Jacqueline Lelong-Ferrand, Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques tome 2, Analyse, Dunod Université, , p. 291-296
  4. Chatterji 1997, p. 348-349.
  5. Léonard Euler, Introduction à l'analyse infinitésimale, t. 1, (lire en ligne), p. 142.
  6. E. Catalan, « Sur la constante d'Euler et la fonction de Binet », Journal de mathématiques pures et appliquées,‎ , p. 236 (lire en ligne), p. 236.
  7. Catalan 1875, p. 231.
  8. (en) D. R. Woods, « Elementary problem proposal E 2692 », Amer. Math. Monthly, vol. 85,‎ , p. 48.
  9. (en) D. Robbins, « Solution to Problem E 2692 », Amer. Math. Monthly, vol. 86,‎ , p. 394-395.
  10. Jean Moussa, « Quelques propriétés associées à la suite de Prouhet-Thue-Morse », Bulletin de l'APMEP,‎ , p. 199-206 (lire en ligne).
  11. (en) Prudnikov, A. P.; Brychkov, Yu. A.; Marichev, O. I., Integrals and Series, Vol. 1: Elementary Functions, New York, Gordon & Breach, , p. 753-757
  12. Pour une démonstration, voir par exemple ce produit télescopique ou cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  13. (de) Ludwig Seidel, « Uber eine Darstellung de Logarithmus durch unendliche Produkte », Journal für die reine und angewandte Mathematik,‎ , p. 273-277 (lire en ligne).
  14. (en) Paul Loya, Amazing and Aesthetic Aspects of Analysis, , 508 p. (lire en ligne), p. 354.
  15. L. Dreyfus, « Définition de sin z par un produit infini », Nouvelles annales de mathématiques,‎ , p. 147-156 (lire en ligne).

Articles connexes

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Lien externe

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(en) Eric W. Weisstein, « Infinite Product », sur MathWorld