Produit infini

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En mathématiques, pour une suite de nombres a1, a2, a3,… le produit infini


\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 \; a_2 \; a_3 \cdots

est défini comme la limite des produits partiels a1a2an quand n tend vers l'infini. On suppose que les termes de la suite sont non nuls. On dit que le produit converge quand la limite existe et est non nulle ; autrement on dit que le produit diverge. Si le produit converge, la limite de la suite an quand n tend vers l'infini vaut 1 mais la réciproque est généralement fausse. Le logarithme log an est bien défini pour tout n assez grand, et on a \log \prod_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \log a_n, le produit du terme de gauche convergeant si et seulement si la somme du terme de droite converge. Ceci permet de relier les critères de convergence des sommes infinies aux critères de convergence des produits infinis.

Parmi les exemples les plus connus de produits infinis, on trouve quelques formules en rapport avec π, tels les deux produits suivants, dus respectivement à François Viète et John Wallis :

  • \frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots (il s'agit du premier produit infini apparu dans l'histoire des mathématiques)
  • \frac{\pi}{2} =  \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{ 4 \cdot n^2 }{ 4 \cdot n^2 - 1 } \right)

Fonctions exprimées comme produits[modifier | modifier le code]

Un résultat majeur sur les produits infinis est le fait que toute fonction entière f(z) (i.e. toute fonction holomorphe sur le plan complexe tout entier) se factorise en un produit infini de fonctions entières ayant chacune au plus un zéro. En général, si f a un zéro d'ordre m à l'origine et d'autres zéros en u1, u2, u3, ... (comptés avec multiplicité) , alors :


f(z) = z^m \; e^{\phi(z)} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z}{u_n} \right) \;
\exp \left\lbrace \frac{z}{u_n} + \left(\frac{z}{u_n}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{z}{u_n}\right)^{\lambda n} \right\rbrace
:

où les exposants λn sont des entiers positifs qui peuvent être choisis pour assurer la convergence de la série, et φ(z) est une fonction analytique uniquement déterminée (ce qui signifie que le terme devant le produit ne s'annule pas sur le plan complexe). Cette factorisation n'est pas unique, car elle dépend du choix des λn et n'est pas particulièrement élégante. Cependant, pour la plupart des fonctions, il existe un entier p minimal tel que le choix constant λn = p donne un produit qui converge, appelé la forme produit canonique, et, lorsque p = 1 convient, on obtient :


f(z) = z^m \; e^{\phi(z)} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z}{u_n}\right)

Ceci peut-être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'algèbre car ce produit devient fini dans le cas des polynômes et lorsque φ est une fonction constante. Cette forme est équivalente à celle donnée par le théorème de factorisation de Weierstrass.

On peut donner comme exemples remarquables les formules suivantes :

\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)

Euler - La formule de Wallis pour π est un cas particulier de cette identité.

1 / \Gamma(z) = z \; \mbox{e}^{\gamma z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) \; \mbox{e}^{-z/n}

Schlömilch

\zeta(z) = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1 - p_n^{-z})}

Euler - Ici pn est la suite des nombres premiers.

Remarque : le dernier cas n'est pas de la forme discutée ici, car ζ n'est pas une fonction entière.