Réduction de Jordan

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La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse pour la résolution d'équations différentielles ou pour déterminer le terme général de certaines suites récurrentes, qu'on la nomme parfois « jordanisation des endomorphismes ».

Elle consiste à exprimer la matrice d'un endomorphisme dans une base, dite base de Jordan, où l'expression de l'endomorphisme est réduite. La réduction consiste à déterminer une décomposition de Dunford c'est-à-dire trouver un endomorphisme diagonalisable et un endomorphisme nilpotent tel que les deux commutent et que leur somme soit égale à l'endomorphisme initial puis, sur chaque sous-espace caractéristique, on effectue une réduction de Jordan. Cette dernière est un cas particulier de la décomposition de Frobenius dans le cadre spécifique d'un endomorphisme nilpotent.

Construction de la base de Jordan[modifier | modifier le code]

Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E (sur un corps K) dont le polynôme minimal est scindé. u possède alors les propriétés suivantes :

  • E est la somme directe des sous-espaces caractéristiques de u. Le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λ est noté ici Eλ.
  • La restriction de u à Eλ est la somme d'une homothétie de rapport λ et d'un endomorphisme nilpotent noté nλ.

Ces résultats sont démontrés dans l'article « Décomposition de Dunford ».

  • Pour chaque λ, il existe une base (eλ,1, eλ,2, … , eλ, pλ) de Eλ telle que nλ(eλ,1) = 0 et pour j = 2, … , pλ, nλ(eλ,j) est nul ou égal à eλ,j–1.

Ce résultat est démontré dans l'article « Endomorphisme nilpotent ».

Blocs de Jordan[modifier | modifier le code]

On appelle bloc de Jordan une matrice carrée de taille k (à coefficients dans le corps K) de la forme[1] :


J_k(\lambda)= \begin{pmatrix} 
    \lambda & 1 &  &  &  &  \\
     & \lambda & 1 &  & (0) &  \\
     &  & \ddots & \ddots &  &  \\
     &  &  & \ddots & \ddots &  \\
     & (0) &  &  & \lambda & 1 \\
     &  &  &  &  & \lambda \\
\end{pmatrix}.

Cette matrice est nilpotente si et seulement si λ est nul.

Jordanisation d'un endomorphisme dans un corps algébriquement clos[modifier | modifier le code]

On considère un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, de polynôme caractéristique scindé. Le théorème de Jordan nous informe qu'il admet une représentation matricielle diagonale par blocs de la forme :


\begin{pmatrix} 
J_{k_1}(\lambda_1)&&&&\\
&J_{k_2}(\lambda_2)&&&\\
&&\ddots&&\\
&&&\ddots&\\
&&&&J_{k_r}(\lambda_r)\\
\end{pmatrix}

où les scalaires λi sont les valeurs propres de l'endomorphisme considéré.

Ainsi sur un corps algébriquement clos comme le corps ℂ, tout endomorphisme admet une décomposition de ce type.

Attention : il n'y a pas a priori un bloc de Jordan pour chaque valeur propre, plusieurs λi peuvent avoir la même valeur.

Propriétés des blocs[modifier | modifier le code]

Prenons un endomorphisme u admettant une telle représentation. On étudie une valeur propre particulière λ de l'endomorphisme u. On regroupe ensemble les vecteurs associés aux blocs Jk(λ). Ils forment le sous-espace caractéristique Eλ. C'est un sous-espace stable sur lequel u – λId induit un endomorphisme nilpotent nλ.

  • La multiplicité de λ (multiplicité dans le polynôme caractéristique) est égale à la dimension de Eλ.
  • La multiplicité de λ dans le polynôme minimal est égal à l'indice de nilpotence de l'endomorphisme nλ.

Application aux classes de similitude des matrices[modifier | modifier le code]

On se place sur un corps algébriquement clos. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont la même écriture en blocs de Jordan, à l'ordre près des blocs.

Exemples de réduction de Jordan[modifier | modifier le code]

Examinons les méthodes de détermination des matrices de passage par deux exemples.

Exemple 1[modifier | modifier le code]

Déterminons la matrice de passage pour l'exemple suivant :

A=\begin{pmatrix}
322 & -323 & -323 & 322 \\
325 & -326 & -325 & 326 \\ 
-259 & 261 & 261 & -260 \\
-237 & 237 & 238 & -237 \end{pmatrix}.

Recherchons les sous-espaces caractéristiques, c’est-à-dire vecteurs x solutions de

(A-\lambda I)^kx=\mathbf{0},

qui nous permettront de déterminer la suite de vecteurs dont les éléments forment les colonnes de la matrice de passage.

Remarquons alors que 5 est valeur propre et que le premier vecteur – que nous noterons v – de la base de définition de la matrice possède pour polynôme minimal associé (X–5)4. Son espace caractéristique est donc l'espace entier. La famille suivante forme donc une base de Jordan :

((A-5I)^3v,(A-5I)^2v,(A-5I)v,v)=\left(
\begin{pmatrix} 5922 \\ 4230 \\ -3572 \\ -5170 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 2857 \\ 2363 \\ -1962 \\ -2392 \end{pmatrix}, 
\begin{pmatrix} 317  \\ 325  \\ -259   \\ -237 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix}
\right).

Nous avons déterminé la matrice de passage :

P=\begin{pmatrix}
5922 & 2857 & 317 & 1 \\
4230 & 2363 & 325 & 0 \\ 
-3572 & -1962 & -259 & 0 \\
-5170 & -2392 & -237 & 0 \\
\end{pmatrix}

et la matrice de Jordan est la suivante :

J=J_4(5)=\begin{pmatrix}
5 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 5 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.

Exemple 2[modifier | modifier le code]

Considérons l'exemple suivant

B =
\begin{pmatrix}
 5 &  4 &  2 &  1 \\
 0 &  1 & -1 & -1 \\
-1 & -1 &  3 &  0 \\ 
 1 &  1 & -1 &  2 \\
\end{pmatrix}.

Les valeurs propres de B sont 4, 4, 2 et 1. De plus, on remarque que :

\dim\ker{(B-I)} = 1,~\dim\ker{(B-2I)} = 1,~ \dim\ker{(B-4I)} = 1,~\dim\ker({B-4I})^2 = 2.

Nous en déduisons que la matrice de Jordan sera (à permutation près des trois blocs) de la forme :

J=
\begin{pmatrix} 
J_2(4)&&\\
&J_1(2)&\\
&&J_1(1)\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Nous remarquons que le vecteur colonne (0, 0, –1, 1)T a pour image par la matrice B – 4I : (–1, 0, 1, –1)T. Ces deux vecteurs colonnes engendrent l'espace caractéristique de valeur propre 4.

On en déduit

\ker{(B-4I)}^2 = \mathrm{Vect}\ \left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}\right).

Nous en déduisons une matrice de passage P telle que P–1BP soit égale à la matrice de Jordan J :

P=\left((B-4I)\mathbf{v}\left|\mathbf{v}\left|\mathbf{w}\left|\mathbf{x}\right)\right.\right.\right.=\begin{pmatrix}
-1 &  0 &  1 & -1\\
 0 &  0 & -1 &  1\\ 
 1 & -1 &  0 &  0\\
-1 &  1 &  1 &  0\end{pmatrix}.

Réduction de Jordan et systèmes différentiels[modifier | modifier le code]

Un système d'équations différentielles linéaires en y peut se réduire à une équation différentielle matricielle d'ordre 1 : u' (t) = Au(t) et la condition initiale u' (0) = u0, où u(t) est un vecteur colonne contenant les dérivées successives de y. La résolution est alors explicite lorsque le système d'équations différentielles est à coefficients constants : u' (t) = exp (tA) u0. L'avantage de la forme normale de Jordan réside dans la facilité de calculs des puissances des matrices des blocs de Jordan. En effet, l'exponentielle d'un bloc de Jordan de taille p est

\exp{(tJ_\lambda)} = \exp{(t\lambda)}\begin{pmatrix}
1 & t& \frac{t^2}{2} & \cdots & \frac{t^{p-1}}{(p-1)!} \\
0 & \ddots&\ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots &t& \frac{t^2}{2} \\
\vdots & 0&\ddots & \ddots & t \\
0 & \cdots&\cdots & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.

On voit de cette manière l'intérêt calculatoire de cette méthode.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) David Betounes, Differential Equations: Theory and Applications, Springer,‎ 2009 (lire en ligne), p. 210