Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels

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En mathématiques, le théorème de la dimension pour les espaces vectoriels énonce que deux bases quelconques d'un même espace vectoriel ont même cardinalité[1],[2],[3]. Joint au théorème de la base incomplète qui assure l'existence de bases, il permet de définir la dimension d'un espace vectoriel comme le cardinal (fini ou infini) commun à toutes ses bases.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Dans un espace vectoriel E, le cardinal de toute partie libre est inférieur ou égal au cardinal de toute partie génératrice de E.

(Donc par symétrie, deux bases quelconques ont même cardinal.)

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soient L libre et G génératrice de E, montrons que |L| ≤ |G|.

Cas G finie[modifier | modifier le code]

Notons n = |G|. D'après le lemme de Steinitz, pour toute partie finie de L de cardinal m, on a mn. Par conséquent, L elle-même est (finie et) de cardinal inférieur ou égal à n.

Cas G infinie[modifier | modifier le code]

Pour tout ℓ∈L, choisissons une partie finie f(ℓ) de G telle que ℓ appartienne au sous-espace engendré par f(ℓ). Pour tout K appartenant à l'ensemble Fin(G) des parties finies de G on a (d'après le cas fini ci-dessus) |f−1({K})| ≤ |K| < 0 donc

|L|=\sum_{K\in{\rm Fin}(G)}|f^{-1}(\{K\})|\le\sum_{K\in{\rm Fin}(G)}\aleph_0=|{\rm Fin}(G)|\aleph_0=|{\rm Fin}(G)|=|G|.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, chap. II, p. A-II-96, Théorème 3.
  2. (en) Serge Lang, Algebra, 1965 [détail des éditions], p. 86, Theorem 3.
  3. (en) Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 114),‎ 2010, 2e éd. (ISBN 978-0-821-88420-1, lire en ligne), p. 324-325.