Espace dual

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En mathématiques, l'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E.

La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et hyperplans, ce qui permet une compréhension « géométrique » de certaines propriétés des formes linéaires.

Le dual topologique est une variante très souvent considérée en analyse fonctionnelle, lorsque l'espace vectoriel est muni d'une structure additionnelle d'espace vectoriel topologique.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient (K,+,×) un corps commutatif et E un K-espace vectoriel.

On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E vers K, c'est-à-dire toute application ϕ : E → K telle que

\forall (x,y) \in E^2,\ \forall \lambda \in K,\ \phi(\lambda x + y) = \lambda \phi(x) + \phi(y).

L'ensemble L(E,K) des formes linéaires sur E est un K-espace vectoriel[1], dit espace dual de E et noté E*.

Si ϕ est un élément de E* et x un élément de E, on écrit parfois ⟨ϕ,x⟩ pour ϕ(x). Cette notation est dite crochet de dualité.

Exemple : cas d'un espace préhilbertien[modifier | modifier le code]

Si l'espace vectoriel E est un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire ⟨.,.⟩, on a un moyen naturel de « plonger » E dans E*, c'est-à-dire d'associer à chaque élément de E un élément du dual, et ce de manière à former une application linéaire injective f de E dans E* : à chaque élément x de E on associe la forme linéaire f(x) = ϕx : E → K, y↦⟨x,y⟩. Alors l'espace E est isomorphe au sous-espace f(E) de E*.

Bases[modifier | modifier le code]

Cas général[modifier | modifier le code]

Soit B une base (éventuellement infinie) de E. Alors, E est isomorphe à l'espace K(B) des fonctions de B dans K qui ne sont non nulles que sur un ensemble fini de points, tandis que le dual E* est isomorphe à l'espace KB de toutes les fonctions de B dans K. En effet, l'application

\begin{array}{rcl} I : E^* & \to & K^B \\ \varphi & \mapsto & (b\mapsto \varphi(b)) \end{array}

est un isomorphisme.

Remarquons que d'après le théorème d'Erdős-Kaplansky, quand B est infinie, la dimension du dual est strictement supérieure à celle de l'espace d'origine.

Dimension finie[modifier | modifier le code]

Si l'espace E est de dimension finie n, la nuance du paragraphe précédent disparaît et l'espace dual E* devient isomorphe à E. On peut raffiner ce résultat.

Théorème de la base duale[2] — Soit (e_1,\ldots,e_n) une base de E. Alors la famille (e_1^*,\ldots,e_n^*) de vecteurs de E* définie par

\forall i \in \{1,\ldots,n\},\ \forall x \in E,\ e_i^*(x)=x_i (où xi est la coordonnée de x correspondant au vecteur ei)

est une base de E*, appelée base duale. En particulier, on a :

\dim E= \dim E^*.

Un espace de dimension finie a donc même dimension que son dual.

Par exemple, les polynômes de Lagrange associés à n + 1 scalaires distincts x0, x1, …, xn forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. La base duale est formée des n + 1 fonctions d'évaluation ϕi ( P ) = P( xi ).

Orthogonal[modifier | modifier le code]

  • Si A est une partie de E, on définit l'orthogonal (ou annulateur) A° de A dans E* comme le sous-espace des formes qui s'annulent sur A : A^\circ=\{\phi \in E^*\mid\forall x \in A,\ \langle\phi,x\rangle=0\}.A° est naturellement isomorphe au dual de l'espace vectoriel quotient E/A.
  • Si B est une partie de E*, on définit l'orthogonal B° de B dans E comme le sous-espace des vecteurs annulés par B : B^\circ=\{x \in E\mid\forall \phi \in B, \langle\phi,x\rangle=0\}.Autrement dit : B° est l'intersection des noyaux des éléments de B.

Avec les notations ci-dessus, (A°)° est égal au sous-espace engendré par A, tandis (B°)° contient le sous-espace engendré par B ; il lui est égal dès que B est finie.

Dans le cas particulier d'un espace euclidien, de dimension finie, l'application x↦ϕx définie dans le paragraphe « Exemple : cas d'un espace préhilbertien » ci-dessus est un isomorphisme de E sur E*. Modulo cet isomorphisme, on retrouve alors l'orthogonalité définie par le produit scalaire.

Représentation des sous-espaces[modifier | modifier le code]

Une application importante de l'étude de l'espace dual est la représentation d'un sous-espace vectoriel comme intersection d'hyperplans.

Soient E un espace vectoriel et F un sous-espace. Pour toute base B de l'espace F° des formes qui s'annulent sur F, le sous-espace F = (F°)° = (Vect(B))° = B° est l'intersection des noyaux des éléments de B, c'est-à-dire que pour tout vecteur x de E, x \in F \Leftrightarrow(\forall\phi\in B,\phi(x)=0). F est de codimension finie q si et seulement si B contient exactement q formes ϕ1, … , ϕq, et l'on peut alors représenter F par q équations linéaires indépendantes : x \in F \Leftrightarrow \left( \phi_1(x)=0~\text{et}~\phi_2(x)=0~\text{et}~\ldots~\text{et}~\phi_q(x)=0\right).

Réciproquement, soit B un ensemble fini de formes linéaires indépendantes. Alors, en notant F = B° l'intersection de leurs noyaux, B est une base de (B°)° = F°.

Ce théorème généralise les résultats élémentaires connus en dimension 2 ou 3 sur la représentation de droites ou de plans par des équations. En particulier, dans un espace vectoriel de dimension 3, l'intersection de 2 plans indépendants est une droite.

Nota : il ne faut pas confondre la notion de droite ou de plan dans un espace affine (qui correspond à l'intuition géométrique) et celle, utilisée ici, de droite vectorielle ou de plan vectoriel. On appelle droite vectorielle un sous-espace de dimension 1, et plan vectoriel un sous-espace de dimension 2.

Transposition[modifier | modifier le code]

Si E et F sont deux espaces vectoriels sur K et uL(E,F) une application linéaire, l'application transposée de u, notée tu, est l'application de F* dans E* donnée par


\forall \eta\in F^\ast,\forall x\in E, \langle {}^tu(\eta),x\rangle = \langle \eta,u(x)\rangle.

Il est immédiat que tu est une application linéaire, et que l'application u↦tu est linéaire.

Si E, F et G sont trois espaces vectoriels, on a


\forall u\in L(E,F),\forall v\in L(F,G), {}^t(v\circ u)= {}^tu\circ  {}^tv.

(Dans le langage des catégories, cela signifie que l'opération qui associe à un espace vectoriel son dual est un foncteur contravariant.)

Exemple élémentaire[modifier | modifier le code]

Si E = Km et F = Kn, alors L(E,F) = Mn,m(K) et on retrouve la transposition des matrices.

Bidual[modifier | modifier le code]

On définit une application linéaire  i de E dans (E*)* par la formule


\forall \xi\in E^\ast,\ \langle i(x),\xi\rangle =  \langle \xi, x \rangle.

Autrement dit, i(x) est la forme linéaire sur E* qui à toute forme linéaire \xi sur E associe \langle \xi, x\rangle.

L'application i est injective : il résulte de l'existence de base que pour tout x non nul de E il existe une forme linéaire \xi telle que \langle \xi, x\rangle\not=0.

Si E est de dimension finie, c'est donc un isomorphisme, dit naturel ou canonique, car il dépend de la seule donnée de E.

Par contre,  i n'est jamais surjective si E n'est pas de dimension finie.

Dans le cas des espaces vectoriels topologiques, la situation est sensiblement différente (voir l'article Dual topologique).

Cas d'un corps de base non commutatif[modifier | modifier le code]

Sur un corps non commutatif, il faut distinguer les espaces vectoriels à gauche, si l'action du groupe multiplicatif K* est une action à gauche, et les espaces vectoriels à droite si cette action est une action à droite.

Le dual d'un espace vectoriel à gauche est un espace vectoriel à droite et vice-versa.

Soient en effet E un espace vectoriel à gauche sur K, uL(E,K) et λ∈K. On définit u.λ par la formule


(u\cdot\lambda)(x)= u(x)\lambda.

C'est bien une application linéaire car, pour vecteur x dans E et tous scalaires λ et μ dans K, on a


(u\cdot\lambda)(\mu x)=u(\mu x)\lambda= (\mu u(x))\lambda=\mu \big(u(x)\lambda) =\mu\big( (u\cdot\lambda) (x)\big).

Ce qui précède est encore valide si l'on remplace « corps » par «  anneau » et « espace vectoriel » par « module ».

Il faut remarquer au passage que si K est un corps non commutatif et si E et F sont des K-espaces vectoriels de dimension au moins 2, L(E,F) n'est plus un espace vectoriel, mais seulement un groupe abélien. De même, si K est un anneau non commutatif et si E et F sont des K-modules non isomorphes à K, L(E,F) est seulement muni d'une structure de groupe abélien.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, chap. II, paragraphe 7, section 5, p. 102-106.
  2. (en) Serge Lang, Algebra, 1965 [détail des éditions], p. 89, Theorem 5.

Voir aussi[modifier | modifier le code]