Matrices de Pauli

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Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment, au facteur i près, une base de l'algèbre de Lie du groupe SU(2).

Elles sont définies comme l'ensemble des matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes :

\sigma_1 = \sigma_x =\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \end{pmatrix}
\sigma_2 = \sigma_y =\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \end{pmatrix}
\sigma_3 = \sigma_z =\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \end{pmatrix}

(où i est l’unité imaginaire des nombres complexes).

Ces matrices sont utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules, notamment dès 1927 dans l'étude non-relativiste du spin de l'électron : l'équation de Pauli.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Identités[modifier | modifier le code]

  • \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I_2
  • \sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\!
  • \sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\!
  • \sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\!
  • \sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i\mbox{ pour }i\ne j\,\!

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

Le déterminant et la trace des matrices de Pauli sont :

\begin{matrix}
\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex]
\operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & 
\end{matrix}\quad \hbox{pour}\ i \in \{1; 2; 3\}

Par conséquent, les valeurs propres de chaque matrice sont ±1.

Les matrices de Pauli obéissent aux relations de commutation et d'anticommutation suivantes :

\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\epsilon_{ijk}\,\sigma_k \\[1ex]
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{ij} \cdot I
\end{matrix}

\epsilon_{ijk} est le symbole de Levi-Civita, \delta_{ij} est le delta de Kronecker et I est la matrice identité. Les relations ci-haut peuvent être vérifiées en utilisant :

\sigma_i \sigma_j = i \epsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \cdot I.

Ces relations de commutativité sont semblables à celles sur l'algèbre de Lie \mathfrak{su}(2) et, en effet, \mathfrak{su}(2) peut être interprétée comme l'algèbre de Lie de toutes les combinaisons linéaires de l'imaginaire i fois les matrices de Pauli i\sigma_j, autrement dit, comme les matrices anti-hermitiennes 2×2 avec trace de 0. Dans ce sens, les matrices de Pauli génèrent \mathfrak{su}(2). Par conséquent, i\sigma_j peut être vu comme les générateurs infinitésimaux du groupe de Lie correspondant SU(2) .

L'algèbre de \mathfrak{su}(2) est isomorphe à l'algèbre de Lie \mathfrak{so}(3), laquelle correspond au groupe de Lie SO(3), le groupe des rotations en trois dimensions. En d'autres termes, les i\sigma_j sont des réalisations de rotations « infinitésimales » dans un espace à trois dimensions (en fait, ce sont les réalisations de plus basse dimension).

Physique[modifier | modifier le code]

En mécanique quantique les iσj représentent les générateurs des rotations sur les particules non relativistes de spin ½. L'état de ces particules est représenté par des spineurs à deux composantes, ce qui est la représentation fondamentale de SU(2). Une propriété intéressante des particules de spin ½ est qu'elles doivent subir une rotation de 4π radians afin de revenir dans leur configuration d'origine. Ceci est dû au fait que SU(2) et SO(3) ne sont pas globablement isomorphes, malgré le fait que leur générateur infinitésimal, su(2) et so(3), soient isomorphes. SU(2) est en fait une « revêtement de degré deux » de SO(3) : à chaque élément de SO(3) correspondent deux éléments de SU(2).

En mécanique quantique à plusieurs particules, le groupe de Pauli (en) Gn est également utile. Il est défini comme tous les produits tensoriels à n dimensions de matrices de Pauli.

Avec la matrice identité I, parfois dénotée σ0, les matrices de Pauli forment une base de l'espace vectoriel réel des matrices hermitiennes complexes 2 × 2. Cet espace vectoriel est équivalent à l'ensemble des quaternions. Lorsqu'utilisée comme base pour l'opérateur de rotation de spin ½, elle est identique à celle pour la représentation de rotation de quaternion correspondante.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Richard L. Liboff (en), Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, 2002 (ISBN 0805387145)