Décomposition polaire

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La décomposition polaire est un outil fondamental pour comprendre les propriétés topologiques des groupes linéaires réels et complexes.

Décomposition polaire d'une matrice réelle[modifier | modifier le code]

 \left\{\begin{array}{lll}
O_n(\R)\times S_n^{++}(\R)&\to&GL_n(\R)\\
(Q,S)&\mapsto&QS
\end{array}\right.\quad
\left\{\begin{array}{lll}
O_n(\R)\times S_n^{++}(\R)&\to&GL_n(\R)\\
(Q,S)&\mapsto&SQ.
\end{array}\right.

Autrement dit, toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique définie positive.

  • Les applications suivantes sont surjectives mais non injectives :
\left\{\begin{array}{lll}
O_n(\R)\times S_n^+(\R)&\to&\mathcal M_n(\R)\\
(Q,S)&\mapsto&QS
\end{array}\right.\quad
\left\{\begin{array}{lll}
O_n(\R)\times S_n^+(\R)&\to &\mathcal M_n(\R)\\
(Q,S)&\mapsto&SQ.
\end{array}\right.

Décomposition polaire d'une matrice complexe[modifier | modifier le code]

  • Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.
\left\{\begin{array}{lll}
U_n(\C)\times H_n^{++}(\C)&\to &GL_n(\C)\\
(Q,S)&\mapsto&QS
\end{array}\right.\quad
\left\{\begin{array}{lll}
U_n(\C)\times H_n^{++}(\C)&\to&GL_n(\C)\\
(Q,S)&\mapsto&SQ
\end{array}\right.

Autrement dit, toute matrice inversible complexe se décompose de façon unique en produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne définie positive.

  • Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :
 \left\{\begin{array}{lll}
U_n(\C)\times H_n^+(\C)&\to &\mathcal M_n(\C)\\
(Q,S)&\mapsto&QS
\end{array}\right.\quad
\left\{\begin{array}{lll}
U_n(\C)\times H_n^+(\C)&\to&\mathcal M_n(\C)\\
(Q,S)&\mapsto&SQ.
\end{array}\right.

Remarque. Pour n=1, on retrouve l'écriture z=re^{i\theta} d'un nombre complexe non nul. C'est la raison du nom de décomposition polaire : c'est une sorte de généralisation des coordonnées polaires.

Application[modifier | modifier le code]

L'ensemble des matrices symétriques ou hermitiennes définies positives est un cône ouvert convexe, donc est contractile. Il en résulte que GL_n(\R) a le même type d'homotopie que O_n(\R) et que GL_n(\C) a le même type d'homotopie que U_n(\C).

Références[modifier | modifier le code]

  • Rached Mneimné et Frédéric Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques [détail des éditions] p. 18–20
  • Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions] p. 48 et 330 de l'éd. 2010 : « Décomposition de Cartan du groupe linéaire »

Voir aussi[modifier | modifier le code]