Matrice de Dirac

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Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d'une équation d'onde relativiste de l'électron.

Intérêt[modifier | modifier le code]

La généralisation naturelle de l'équation de Schrödinger est l'équation de Klein-Gordon. Celle-ci décrit des particules de spin 0 et ne convient pas pour les électrons qui sont de spin 1/2. Dirac essaya alors de trouver une équation linéaire comme celle de Schrödinger sous la forme :

i \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(\frac{1}{i}\mathbf{\alpha}\cdot\nabla+\beta m\right)\psi\equiv H\psi

\psi est une fonction d'onde vectorielle, m la masse de la particule, H l'hamiltonien et \mathbf{\alpha},\beta sont respectivement un vecteur de matrices hermitiques et une matrice hermitique. L'équation de Dirac doit respecter les trois contraintes suivantes :

  1. Les composantes de \psi doivent satisfaire l'équation de Klein-Gordon, une onde plane dont une solution est :
    E^2=\mathbf{p}^2+m^2
  2. Il existe un quadrivecteur densité de courant qui est conservé et dont la composante temporelle est une densité positive (identifiée avec la charge électrique).
  3. Les composantes de \psi ne doivent satisfaire aucune condition auxiliaire, c’est-à-dire qu'à un instant donné elles sont des fonctions indépendantes de x.

Matrices de Dirac[modifier | modifier le code]

Dirac proposa que les matrices hermitiques soient anticommutantes et de carré égal à un. C’est-à-dire qu'elles obéissent à l'algèbre suivante :

\left\{\alpha_i,\alpha_k\right\}=0\ i\ne k
\left\{\alpha_i,\beta\right\}=0
\alpha_i^2=\beta^2=I

où les crochets sont l'anticommutateur \left\{A,B\right\}=AB+BA.

En élevant l'équation de Dirac au carré, on vérifie immédiatement que la première condition est satisfaite. On introduit ensuite les matrices de Dirac \gamma^\mu proprement dites :

\gamma^0=\beta
\gamma^i=\beta\alpha^i\ i=1,2,3
\left\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\right\}=2g^{\mu\nu}

Le slash de Feynman[modifier | modifier le code]

On introduit aussi le « slash » de Feynman :

\not\! a \equiv a_\mu\gamma^\mu

L'équation de Dirac prend alors la forme :

\left(i\gamma^\mu\partial_\mu-m\right)\psi\equiv\left(i\not\!\partial-m\right)\psi=0

Une représentation explicite, dite « représentation standard », est donnée par :

\gamma^0=\begin{pmatrix}I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -I \end{pmatrix}
\gamma^i=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \sigma^i \\ -\sigma^i & \mathbf{0}\end{pmatrix}
\beta=\begin{pmatrix}I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -I \end{pmatrix}
\alpha^i=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \sigma^i \\ \sigma^i & \mathbf{0}\end{pmatrix}

I est la matrice unité 2×2 et \sigma^i sont les matrices de Pauli[1].

Cette représentation est particulièrement pratique car elle met en évidence le caractère spinoriel (dû au spin demi-entier) de la fonction d'onde de l'électron et elle sépare les composantes d'énergie positive et négative. Ainsi, en écrivant la fonction d'onde comme un bispineur :

\psi=\begin{pmatrix}\phi \\ \chi\end{pmatrix}

\phi et \chi sont deux spineurs, l'équation de Dirac devient :

i \frac{\partial \phi}{\partial t}=m\phi+\frac{1}{i}\mathbf{\sigma}\cdot\nabla\chi
i \frac{\partial \chi}{\partial t}=-m\chi+\frac{1}{i}\mathbf{\sigma}\cdot\nabla\phi

En introduisant la fonction d'onde conjuguée comme :

\bar\psi=\psi^\dagger\gamma^0

On trouve :

\bar\psi\left(i\overleftarrow{\not\!\partial} + m \right)=0

Et avec l'équation de Dirac, cela donne :

\bar\psi\left(\overleftarrow{\not\!\partial}+\overrightarrow{\not\!\partial}\right) \psi \equiv\partial_\mu\left(\bar\psi\gamma^\mu\psi\right)  =0

Ce qui donne un courant conservé :

j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi

Dont la composante temporelle j^0=\rho=\bar\psi\gamma^0\psi=\psi^\dagger\psi est positive. ^

On définit aussi la matrice[2] :

\ \gamma^5= i \gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3

L'utilisation de \gamma^5 permet ainsi de construire différents types de combinaisons tels que :

On vérifie aisément la covariance relativiste de tout ce formalisme.

Les traces[modifier | modifier le code]

Pour le calcul des sections efficaces en physique des particules, il est souvent utile d'avoir ces quelques résultats sur les traces de ces matrices :




Tr[\gamma^\alpha \gamma^\beta]=4 g^{\alpha \beta}



Tr[\gamma^\alpha \gamma^\beta \gamma^\mu \gamma^\nu]=4 ( g^{\alpha \beta} g^{\mu \nu} - g^{\alpha \mu} g^{\beta \nu} + g^{\alpha \nu} g^{\beta \mu})



Tr[\gamma^5]=0



Tr[\gamma^5 \gamma^\alpha \gamma^\beta]=0

 
Tr[ 
d'un nombre impair de  

\gamma
 ]=0

Représentations[modifier | modifier le code]

Les matrices de Dirac sont totalement déterminées par la relation :

\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2\eta^{\mu\nu}

\eta^{\mu\nu} est le tenseur de Minkowski. On a aussi \gamma_\mu\gamma^\mu=4.

Il existe une infinité de solutions possibles à la relation précédente. Pour des matrices 4×4, l'ensemble des solutions est une \, \Complex-algèbre de dimension 4, une algèbre de Clifford notée \, Cl_{1,3}\Complex \, , et les quatre matrices de Dirac en forment une base. Suivant la base choisie les matrices de Dirac ont des coefficients différents, et ce choix s'appelle une représentation des matrices de Dirac.

Représentation de Dirac[modifier | modifier le code]

C'est la « représentation standard ». On l'obtient à partir de la représentation de Weyl grâce à l'opérateur unitaire U :

U=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

Les matrices \gamma^{\mu}_D =U \gamma^{\mu}_W U^{\dagger} s'écrivent alors :

\gamma^0_D=\begin{pmatrix}I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -I \end{pmatrix}
\gamma^i_D= \begin{pmatrix} \mathbf{0} & \sigma_i \\ -\sigma_i & \mathbf{0} \end{pmatrix}
\gamma^5_D=\begin{pmatrix} \mathbf{0} & I\\I & \mathbf{0}  \end{pmatrix}

Représentation de Weyl[modifier | modifier le code]

Représentation qui apparaît « naturellement » quand on cherche à dériver l'équation de Dirac à l'aide des représentations irréductibles du groupe de Lorentz. Dans cette base, les matrices \gamma^{\mu} ont la forme suivante :

\gamma^0_W=\begin{pmatrix} \mathbf{0} & I\\I & \mathbf{0}  \end{pmatrix}
\gamma^i_W= \begin{pmatrix} \mathbf{0} & \sigma_i \\ -\sigma_i & \mathbf{0} \end{pmatrix}
\gamma^5_W=\begin{pmatrix}I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -I \end{pmatrix}

Représentation de Majorana[modifier | modifier le code]

La représentation de Majorana est obtenue à partir de la « représentation standard » à l'aide de la matrice unitaire U suivante :

U=\frac{1}{\sqrt{2}} (\gamma^0_D \gamma^2_D+\gamma^0_D)

Cette représentation a la propriété intéressante que toutes les matrices \gamma^{\mu} sont imaginaires pures, ce qui rend les calculs commodes quand on considère l'opérateur conjugaison de charge.

Représentation chirale[modifier | modifier le code]

\gamma^0=\beta=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & -I \\ -I & \mathbf{0}\end{pmatrix}
\mathbf{\alpha}=\begin{pmatrix}\mathbf{\sigma} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -\mathbf{\sigma}\end{pmatrix}
\mathbf{\gamma}=\begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{\sigma} \\ -\mathbf{\sigma} & \mathbf{0}\end{pmatrix}

Son avantage est que les deux spineurs se transforment indépendamment sous les rotations et les translations. Elle est particulièrement utile pour des particules sans masse, les équations se simplifiant considérablement. Elle a été utilisée pour le neutrino bien que les oscillations de neutrinos montrent que leur masse est non nulle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pauli W (1936) Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac. In Annales de l'institut Henri Poincaré (Vol. 6, No. 2, pp. 109-136). Presses universitaires de France.
  2. Cette définition correspond à celle que l'on trouve, par exemple, dans le livre d'Edgard Elbaz Quantique (ellipses, 1995), une autre définition, qui ne diffère que par l'ajout d'un signe - , est présente dans Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, tome 4 : Électrodynamique quantique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions], §22.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, tome 4 : Électrodynamique quantique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions]
  • Choquet-Bruhat, Y. (1982). Solution globale des équations de Maxwell-Dirac-Klein-Gordon. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 31(2), 267-288 (résumé).
  • Itzykson, C., & Zuber, J. B. (2005). Quantum field theory. Courier Dover Publications.
  • Lochak, G. (2003). L’équation de Dirac sur le cône de lumière. Electrons de Majorana et monopôles magnétiques. In Annales de la Fondation Louis de Broglie (Vol. 28, No. 3-4, p. 403). Fondation Louis de Broglie.
  • McLenaghan, R. G., & Spindel, P. (1979). Intégrales premières des équations de Dirac en espace courbe. Bull. Soc. Math. Belg, 31, 30.
  • Mandl, F., & Shaw, G. (2010). Quantum field theory. John Wiley & Sons.
  • Meessen, A. (1970). Quantification de l’espace-temps et généralization de l’équation de Dirac. Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 84,267-275.
  • Nelipa N Physique des particules élémentaires
  • Pauli W (1936) Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac. In Annales de l'institut Henri Poincaré (Vol. 6, No. 2, pp. 109-136). Presses universitaires de France.
  • Proca, A. (1930). Sur l'équation de Dirac. J. Phys. Radium, 1(7), 235-248.
  • Sambou D (2012) Résonances près de seuils d'opérateurs magnétiques de Pauli et de Dirac. arXiv preprint arXiv:1201.6552.
  • Zinn-Justin, J. (2002). Quantum field theory and critical phenomena (No. SACLAY-SPHT-T-2002-001).