Décomposition de Schur

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En algèbre linéaire, une décomposition de Schur (nommée après le mathématicien Issai Schur) d'une matrice carrée complexe M est une décomposition de la forme

M = UAU*

U est une matrice unitaire (U*U = I) et A une matrice triangulaire supérieure.

Démonstration[modifier | modifier le code]

On peut écrire la décomposition de Schur en termes d'applications linéaires :

Soient un -espace vectoriel de dimension muni d'un produit scalaire et un endomorphisme sur , alors une base orthonormée de et une famille telle que .


Dans le cas où est l'application nulle, l'énoncé est directement vérifié, on peut donc se contenter de traiter le cas où est différente de l'application nulle. On démontre par récurrence forte sur la dimension de le résultat énoncé. L'initialisation est triviale, pour l'hérédité on considère deux cas différents :

Si la matrice associée à dans une base quelconque est diagonalisable, alors on peut choisir un vecteur propre normé de . On pose et on considère l'application linéaire est le projecteur orthogonal sur et la restriction de à . Comme est un endomorphisme de l'espace vectoriel qui est de dimension , l'hypothèse de récurrence assure l'existence d'une base orthonormée de dans laquelle la matrice associée à est triangulaire supérieure. Il est alors clair que forme une base orthonormée dans laquelle la matrice associée à est triangulaire supérieure.

Si la matrice associée à dans une base quelconque n'est pas diagonalisable on a l'inégalité . On pose alors et on considère l'application linéaire est le projecteur orthogonal sur et la restriction de à . Comme on peut utiliser l'hypothèse de récurrence qui assure l'existence d'une base orthonormée de dans laquelle la matrice associée à est triangulaire supérieure. On complète cette base en une base orthonormée de . Comme , il est clair que la matrice associée à est triangulaire supérieure dans cette même base. Cela termine la récurrence.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Il existe une telle décomposition (non unique en général) pour toute matrice carrée complexe M[1],[2].

A étant semblable à M, elle a les mêmes valeurs propres. Et A étant triangulaire, les valeurs propres se trouvent sur sa diagonale.

Puisque A = U*MU, si M est normale (M*M = MM*) alors A aussi donc (comme elle est de plus triangulaire) elle est diagonale[3]. En particulier, si M est hermitienne (M* = M) alors A est diagonale réelle.

Cas réel[modifier | modifier le code]

Si une matrice réelle M est trigonalisable, elle possède une décomposition de la même forme avec de plus U et A réelles, autrement dit

M = PA tP

avec P orthogonale et A réelle et triangulaire supérieure.

Si M n'est pas trigonalisable, elle a « presque » une décomposition de cette forme (avec P orthogonale et A réelle) mais où A est seulement triangulaire par blocs, avec des blocs diagonaux de polynôme caractéristique irréductible, donc d’ordre 1 ou 2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schur decomposition » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, , 561 p. (ISBN 978-0-521-38632-6, lire en ligne), p. 79 et s.
  2. (en) Gene H. Golub et Charles F. Van Loan, Matrix Computations, Johns Hopkins University Press, , 3e éd., 694 p. (ISBN 978-0-8018-5414-9, lire en ligne), p. 313.
  3. Golub et Van Loan 1996, p. 314.