Lemme des noyaux
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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le lemme des noyaux est un lemme traduisant l'identité de Bezout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels, noyaux de polynômes d'endomorphismes. C'est un résultat utile dans la théorie de la réduction des endomorphismes.
Sommaire |
[modifier] Enoncé
Lemme des noyaux — Soit E un espace vectoriel sur un corps K et soit f un endomorphisme de E. Si ![P_1,\ldots,P_n \in K[X]](http://upload.wikimedia.org/math/1/9/2/192527f1c86d44ab5e67ee58757eb75c.png)
(avec 
) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels ker(Pi(f)) (où 
) sont en somme directe et
![\bigoplus_{i=1}^n \ker \left[ P_i(f) \right] = \ker \left[ \left( \prod_{i=1}^n P_i \right)(f) \right].](http://upload.wikimedia.org/math/b/a/4/ba40b11861f53424230392d973cac669.png)
[modifier] Démonstration
Par récurrence sur n. On pose
[modifier] Initialisation
On suppose n = 2. On a alors P = P1P2. D'après le théorème de Bézout, il existe ![(U_1,U_2) \in (K[X])^2](http://upload.wikimedia.org/math/8/1/4/8146e0bab86c36289ba6736b00e7c5cc.png)
tel que U1P1 + U2P2 = 1. On en déduit que (U1P1 + U2P2)(f) = idE (idE désignant l'application identité de E).
Soit 
. On a +[U_2(f) \circ P_2(f)](x)=0](http://upload.wikimedia.org/math/1/8/9/18927d1e0d42f7911716d19789b0459d.png)
, donc 
.
Soit 
. On a alors x = [(U1P1)(f)](x) + [(U2P2)(f)](x). Or
\}=[(U_1P_1P_2)(f)](x)=[U_1(f) \circ P(f)](x)=0;](http://upload.wikimedia.org/math/0/c/0/0c02733ddfe05b757fce27990462f96a.png)
ce qui montre que  \in \ker P_2(f)](http://upload.wikimedia.org/math/d/6/d/d6db253332dc2cb528d8891fe30193c0.png)
. De même, on montre que  \in \ker P_1(f)](http://upload.wikimedia.org/math/b/e/1/be11d9e6555d228ef629bd849f55068b.png)
.
On en déduit donc que
[modifier] Hérédité
Supposons le lemme des noyaux démontré pour un 
. On a 
. On pose 
et Q2 = Pn + 1. On a donc P = Q1Q2. Les polynômes Q1 et Q2 sont premiers entre eux, donc d'après l'étude ci-dessus, on a 
. Or en appliquant l'hypothèse de récurrence, 
. Finalement,
![\ker P(f)=\ker Q_1(f) \oplus \ker Q_2(f)= [\ker P_1(f) \oplus \cdots \oplus \ker P_n(f)]\oplus \ker P_{n+1}(f)=\bigoplus_{i=1}^{n+1} \ker P_i(f);](http://upload.wikimedia.org/math/6/0/3/603a1ad3a1e9863aa2f0cb76f3d9fd6e.png)
ce qui montre que le lemme des noyaux est vrai pour n + 1.
[modifier] Applications
Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :
Réduction à une forme diagonale par blocs — Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K et soit f un endomorphisme de E. Soit ![P\in K[X]](http://upload.wikimedia.org/math/4/f/a/4facb36da11821b818abd66b424a6a76.png)
un polynôme annulateur de f (par exemple son polynôme caractéristique, d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et 
une factorisation de P dont les facteurs sont deux à deux premiers entre eux. Alors il existe une base 
de E et des matrices 
telles que
où ni = dimkerPi(f).
Par hypothèse kerP(f) = E, donc, d'après le lemme des noyaux :
Chaque sous-espace kerPi(f) est stable par f, donc la matrice de f dans n'importe quelle base de E adaptée à la décomposition précédente en sous-espaces stables, est diagonale par blocs comme souhaité.
