Matrice échelonnée

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Une matrice est dite échelonnée en lignes si le nombre de zéros précédant la première valeur non nulle d'une ligne augmente ligne par ligne jusqu'à ce qu'il ne reste plus que des zéros.

Exemples[modifier | modifier le code]

Voici un exemple de matrice échelonnée (les * désignent des coefficients arbitraires, les \oplus des pivots, coefficients non nuls) :


\begin{pmatrix}
\oplus & * & * & * & * & * & * & * & * \\
0 & 0 & \oplus & * & * & * & * & * & * \\
0 & 0 & 0 & \oplus & * & * & * & * & * \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \oplus & * & * \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \oplus \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}

Une matrice échelonnée est dite matrice échelonnée réduite ou matrice canonique en lignes si les pivots valent 1 et si les autres coefficients dans les colonnes des pivots sont nuls. La matrice échelonnée réduite associée à l'exemple précédent est :


\begin{pmatrix}
1 & * & 0 & 0 & * & * & 0 & * & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & * & * & 0 & * & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & * & * & 0 & * & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & * & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}

Réduction d'une matrice à sa forme échelonnée[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Élimination de Gauss-Jordan.

Toute matrice peut être transformée en une matrice échelonnée réduite au moyen d'opérations élémentaires sur les lignes, à savoir :

  • permuter deux lignes ;
  • multiplier une ligne par une constante non nulle ;
  • ajouter à une ligne le multiple d'une autre ligne.

La matrice échelonnée réduite ainsi obtenue est unique. Le nombre de lignes possédant un pivot non nul est égal au rang de la matrice initiale.

Sous-espaces relatifs à une matrice[modifier | modifier le code]

Soit A une matrice quelconque, à m lignes et n colonnes, de rang r. Soit C la matrice constituée des r premières lignes de la matrice échelonnée réduite associée (les lignes qui suivent sont nulles). Procédons également à l'échelonnement réduit de la matrice par blocs (A | I_m)I_m est la matrice identité à m lignes, et soit \left(\begin{array}{c|c}C & K \\ \hline 0 & L \end{array}\right) la matrice par blocs échelonnée réduite associée. Les matrices C et L permettent de déterminer plusieurs sous-espaces relatifs à la matrice A[1].

Dans le cas où m = n = r, la matrice K donne l'inverse de la matrice A.

Exemple[modifier | modifier le code]

Si A est la matrice \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 & -3 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 1 & 0 & -5 & -6 \\
4 & 8 & 5 & -6 & -1 & 0 \\
5 & 10 & 7 & -9 & 1 & 3 \\
-4 & -8 & -5 & 6 & 1 & 0
\end{pmatrix} alors la matrice échelonnée réduite de (A | I_m) est telle que  C =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 1 & -4 & -5 \\
0 & 0 & 1 & -2 & 3 & 4
\end{pmatrix} et L =\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Noyau[modifier | modifier le code]

Le noyau Ker(A) de la matrice A est défini comme l'ensemble des colonnes X telles que AX = 0. Ce noyau est identique[1] à celui de C, mais se calcule facilement à partir de C.

Les vecteurs de ce noyau sont en effet les colonnes X ayant des coefficients arbitraires aux indices j correspondant à une colonne j de la matrice C n'ayant pas de pivot, les coefficients situés aux indices k correspondant à des pivots étant ajustés pour annuler CX. Notons (e_1, \dots, e_n) la base canonique de \mathbb K^n, et (k_1,k_2,...,k_r) les indices de colonnes où se trouvent les pivots. Alors une base de Ker(A) est donnée par les e_j - \sum_{k_i <j} c_{ij}e_{k_i}.

Dans l'exemple précédent, les colonnes sans pivot ont pour indice j = 2, 4, 5, 6, et les colonnes avec pivot ont pour indice k = 1, 3. Une base de Ker(A) est donnée par : (-2,1,0,0,0,0), (-1,0,2,1,0,0), (4,0,-3,0,1,0) et (5,0,-4,0,0,1).

Il en résulte que la dimension de Ker(A) est égal à n-r, où r est le nombre de pivots. C'est une version du théorème du rang

Image[modifier | modifier le code]

L'image Im(A) de la matrice est l'espace des AX, lorsque X est une colonne quelconque de n termes. Cette image est engendrée par les colonnes de A, mais elle est aussi identique[1] au noyau de L, dont on trouve une base comme précédemment.

Dans l'exemple précédent, une base de Im(A) est (1,-2,0,1,0) et (1,-3,-1,0,1)

Conoyau[modifier | modifier le code]

Appelons conoyau de A l'espace des lignes X telles que XA = 0. Une base de ce conoyau est donnée[1] par les lignes de L.

Dans l'exemple précédent, une base du conoyau est et (1,0,0,-1,-1), (0,1,0,2,3), (0,0,1,0,1).

Le conoyau n'est autre que le noyau de la transposée de A. Il a pour dimension m-r, de sorte que le rang de la transposée de A est r, comme celui de A.

Coïmage[modifier | modifier le code]

Appelons coïmage de A l'espace engendré par les lignes de A. Une base de la coïmage est donnée[1] par les lignes de C, (1,2,0,1,-4,-5) et (0,0,1,-2,3,4).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Élimination de Gauss-Jordan

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c, d et e Robert A. Beezer, « Extended Echelon Form and Four Subspaces », The American Mathematical Monthly, 121, no 7 (août-septembre 2014), 644-647.