Matrice échelonnée

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Une matrice est dite échelonnée en lignes si le nombre de zéros précédant la première valeur non nulle d'une ligne augmente ligne par ligne jusqu'à ce qu'il ne reste plus que des zéros.

Exemples[modifier | modifier le code]

Voici un exemple de matrice échelonnée (les * désignent des coefficients arbitraires, les \oplus des pivots, coefficients non nuls) :


\begin{pmatrix}
\oplus & * & * & * & * & * & * & * & * \\
0 & 0 & \oplus & * & * & * & * & * & * \\
0 & 0 & 0 & \oplus & * & * & * & * & * \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \oplus & * & * \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \oplus \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}

Un exemple de matrice échelonnée réduite ou matrice canonique en lignes (les pivots valent 1 et les autres coefficients dans les colonnes des pivots sont nuls) :


\begin{pmatrix}
1 & * & 0 & 0 & * & * & 0 & * & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & * & * & 0 & * & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & * & * & 0 & * & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & * & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}

Noyau d'une matrice échelonnée réduite en lignes[modifier | modifier le code]

On peut déterminer simplement une base du noyau d'une matrice échelonnée réduite en lignes.

Le rang d'une telle matrice est égal au nombre de lignes non nulles, c'est-à-dire au nombre de colonnes contenant un pivot. D'après le théorème du rang, la dimension de son noyau est donc égale au nombre de colonnes sans pivot. Plus précisément, chaque colonne (nulle ou pas) sans pivot permet de trouver un élément du noyau, ces différents éléments du noyau étant linéairement indépendants par construction.

Exemple.


\begin{pmatrix}
1 & x & 0 & 0 & a & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & b & -2 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & c & -3 & 0 & 3 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0    & 1 & 4 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0    & 0 &   0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0    & 0 &   0 & 0 
\end{pmatrix}

Le rang est 5 ; la dimension du noyau est donc 9 – 5 = 4.

Les colonnes avec pivot ont pour indices 1, 3, 4, 7, 9, et les colonnes sans pivot ont pour indices 2, 5, 6, 8. On part des vecteurs

(0,1,0,0,0,0,0,0,0)=e_2

(0,0,0,0,1,0,0,0,0)=e_5

(0,0,0,0,0,1,0,0,0)=e_6

(0,0,0,0,0,0,0,1,0)=e_8

On soustrait d'éventuels termes de la colonne sans pivot correspondante, aux positions successives des colonnes avec pivot :

e_2-xe_1=(-x,1,0,0,0,0,0,0,0),

e_5-ae_1-be_3-ce_4=(-a,0,-b,-c,1,0,0,0,0),

e_6+e_1+2e_3+3e_4=(1,0,2,3,0,1,0,0,0),

e_6-e_1-2e_3-3e_4-4e_7=(-1,0,-2,-3,0,0,-4,1,0).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Algorithme d'échelonnement