Matrice unitaire

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En algèbre linéaire, une matrice carrée U à coefficients complexes est dite unitaire si elle vérifie les égalités suivantes :

 U^* U = U U^* = I

avec U^* la matrice adjointe de la matrice U et I la matrice identité. En physique, et plus particulièrement en mécanique quantique une matrice adjointe est dénotée par U^{\dagger}. L'équation précédente devient donc :

 U^{\dagger} U = U U^{\dagger} = I

Les matrices unitaires à coefficients réels sont les matrices orthogonales.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Pour toutes matrices unitaires U, les propriétés suivant sont vérifiées :

U = V D V^*

V est une matrice unitaire, V^* est la matrice adjointe de la matrice V et D est diagonale et unitaire.

U = \exp(iH)

i est l'unité imaginaire et H est une matrice hermitienne.


Propositions équivalentes[modifier | modifier le code]

Soit U une matrice carrée à coefficients complexes ; les trois propositions suivantes sont équivalentes :

  1. U est unitaire ;
  2. U^* est unitaire ;
  3. les colonnes de U forment une base orthonormale.

Notes[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Eric J.M. Delhez, Algèbre, vol. 1
  • Grifone J., Algèbre linéaire, Cepadues-Editions,‎ 1990

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Opérateur unitaire
Matrice orthogonale