Matrice compagnon

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En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire

p(X)=c_0 + c_1 X + \dots + c_{n-1}X^{n-1} + X^n\,

est la matrice carrée suivante[1],[2],[3] :

C(p)=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\
1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\
0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1 & -c_{n-1} \\
\end{pmatrix},

mais il existe d'autres conventions :

\begin{pmatrix}
-c_{n-1} & -c_{n-2} & \dots & -c_1 & -c_0 \\
1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}.

Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal de C(p) sont égaux à p (ou (-1)^n p selon la convention choisie pour le polynôme caractéristique) ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p.

Si le polynôme p possède n racines distinctes λ1, ..., λn (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante :

V C(p) V^{-1} = \mbox{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\,

V est la matrice de Vandermonde associée à λ1, ..., λn (réciproquement, la matrice compagnon n'est diagonalisable que dans ce cas, où l'on dit que p est un polynôme scindé à racines simples[réf. souhaitée]).

Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps commutatif K, alors les propositions suivantes sont équivalentes :

  • A est semblable à une matrice compagnon à coefficients dans K
  • le polynôme caractéristique de A est le polynôme minimal de A
  • il existe un vecteur v dans Kn tel que (v, Av, A2v,...,An-1v) soit une base de Kn.

Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que le polynôme caractéristique de chacune divise celui de la suivante ; ils sont alors déterminés de façon unique par A. C'est la forme canonique rationnelle de A.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions] , Vol. 1, p. 365
  2. Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition], § 11.102
  3. Daniel Guinin, Bernard Joppin, Algèbre et géométrie MP, Éditions Bréal, 2004, ISBN 978-2-7495-0388-2, p. 186
  4. David C. Lay, Algèbre linéaire : Théorie, exercices & applications, De Boeck, 2004, ISBN 978-2-8041-4408-1, p. 372
  5. Dany-Jack Mercier, Exercices pour le CAPES mathématiques (externe et interne) & l'agrégation interne, Volume 1, Publibook, 2005, ISBN 978-2-7483-0995-9, p. 103
  6. Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Méthodes numériques : algorithmes, analyse et applications, Springer, 2007, ISBN 978-88-470-0495-5, p. 207
  7. Jacques Rappaz, Marco Picasso, Introduction à l'analyse numérique, PPUR, 1998, ISBN 978-2-88074-363-5, p. 106

Voir aussi[modifier | modifier le code]