Matrice compagnon

En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire

$p(X)=c_0 + c_1 X + \dots + c_{n-1}X^{n-1} + X^n\,$

est la matrice carrée suivante :

$C(p)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -c_{n-1} \\ \end{pmatrix},$

mais il existe d'autres conventions :

• la matrice transposée de celle ci-dessus,
• une variante de cette transposée : la matrice

$\begin{pmatrix} -c_{n-1} & -c_{n-2} & \dots & -c_1 & -c_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.$

Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal de C(p) sont égaux à $p$ (ou $(-1)^n p$ selon la convention choisie pour le polynôme caractéristique) ; en ce sens, la matrice $C(p)$ est la « compagne » du polynôme p.

Si le polynôme p possède n racines distinctes λ₁, ..., λ_n (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante :

$V C(p) V^{-1} = \mbox{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\,$

où V est la matrice de Vandermonde associée à λ₁, ..., λ_n.

Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps commutatif K, alors les propositions suivantes sont équivalentes :

• A est semblable à une matrice compagnon à coefficients dans K
• le polynôme caractéristique de A est le polynôme minimal de A
• il existe un vecteur v dans Kⁿ tel que (v, Av, A²v,...,A^n-1v) soit une base de Kⁿ.

Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que le polynôme caractéristique de chacune divise celui de la suivante ; ils sont alors déterminés de façon unique par A. C'est la forme canonique rationnelle de A.

Voir aussi

• Décomposition de Frobenius
• Suite récurrente linéaire