Décomposition de Dunford

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En mathématiques, la décomposition de Dunford (du nom de Nelson Dunford) s'inscrit dans le contexte de la réduction d'un endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel en une somme directe de sous-espaces stables où l'expression de l'endomorphisme est plus simple.

Ce n'est pas une « réduction » dans le sens où elle n'est pas maximale. C'est-à-dire qu'il est parfois possible de pousser la décomposition en sous-espaces vectoriels stables plus petits.

Elle prend comme hypothèses que l'espace vectoriel est de dimension finie et que le polynôme minimal est scindé, c'est-à-dire qu'il s'exprime comme produit de polynômes du premier degré. Cette seconde hypothèse est toujours vérifiée si le corps est algébriquement clos, comme celui des nombres complexes. Dans le cas ou la propriété n'est pas vérifiée, il est possible d'étendre le corps à sa clôture algébrique, et l'espace vectoriel à ce nouveau corps et dans ce contexte d'appliquer la décomposition de Dunford. Le corps des nombres réels se voit par exemple généralement étendre pour permettre une application de cette décomposition.

La décomposition de Dunford prouve que tout endomorphisme est la somme d'un endomorphisme diagonalisable et d'un endomorphisme nilpotent, les deux endomorphismes commutant et étant uniques.

Cette décomposition est largement appliquée. Elle permet un calcul matriciel souvent rapide. C'est néanmoins souvent sous la forme de la réduction de Jordan qu'elle est utilisée.

Théorème[modifier | modifier le code]

Le théorème de diagonalisabilité permet de déterminer la structure de u quand il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. La décomposition de Dunford s'applique à un cas plus général.

Théorème de la décomposition de Dunford — Un endomorphisme u d'un espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme minimal scindé si et seulement s'il peut s'écrire sous la forme u = d + n avec d un endomorphisme diagonalisable et n un endomorphisme nilpotent tels que d et n commutent (c'est-à-dire dn = nd). De plus d et n sont alors des polynômes en u et sont uniques.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Procédons par analyse-synthèse.

Unicité de d et n et condition suffisante[modifier | modifier le code]

Soient d diagonalisable et n nilpotent, qui commutent et tels que u = d + n. Montrons que d et n sont entièrement déterminés par u. Il suffit de montrer que d l'est (puisque n = u – d), c'est-à-dire simplement, puisque d est diagonalisable, de retrouver ses valeurs propres λi et ses sous-espaces propres associés Ei (dont l'espace total E est la somme directe) à partir de u.

Comme n commute à d, les Ei sont stables par n donc aussi par u. Notons (pour chaque i) ui la restriction de u à Ei, di la dimension de Ei, et ni (≤ di) l'indice de nilpotence de la restriction de n à Ei, c'est-à-dire de ui – λiId.

Alors, le polynôme caractéristique, le polynôme minimal et l'ensemble des valeurs propres sont respectivement :

  • pour ui – λiId  : Xdi, Xni et {0},
  • donc pour ui : (X – λi)di, (X – λi)ni et {λi},
  • donc pour u : le produit des (X – λi)di, le PPCM des (X – λi)ni (égal à leur produit) et l'ensemble des λi.

Ceci fournit trois manières de retrouver les λi à partir de u, comme ses valeurs propres ou les racines de son polynôme caractéristique ou de son polynôme minimal. On constate de plus que ces deux polynômes sont scindés. (Plus accessoirement, on peut remarquer que le déterminant de u est le produit des λidi et que la trace de u est la somme des diλi.)

Quant aux Ei, ils se déduisent aussi de u car ce sont les noyaux des (u – λiId)ni (ou des (u – λiId)ki pour n'importe quels ki ≥ ni, par exemple ki = di ou ki = dim(E)).

En effet, (ui – λiId)ni = 0 et pour j ≠ i, uj – λiId est injectif (sa seule valeur propre étant λj – λi ≠ 0) donc ses puissances aussi.

Condition nécessaire : existence de d et n[modifier | modifier le code]

Soit u un endomorphisme dont le polynôme minimal μ est scindé :

\mu(X)=\prod_i(X-\lambda_i)^{n_i}.

La preuve d'unicité ci-dessus pour d et n fournit le candidat pour la preuve de leur existence. On note donc Ei les noyaux des (u – λiId)ni, que l'on appelle les sous-espaces caractéristiques de u (on peut remarquer au passage que Ei contient le noyau de u – λiId). Ils sont stables par u et d'après le lemme des noyaux (appliqué à la famille des polynômes (X – λi)ni, qui sont deux à deux premiers entre eux), E est leur somme directe. Ceci permet de définir d comme l'endomorphisme de E dont la restriction à chaque Ei est l'homothétie de rapport λi, et n comme la différence u – d (qui laisse aussi stables les Ei). Par construction, d est diagonalisable et commute à n, et n est nilpotent puisque ses restrictions aux Ei le sont.

Caractère polynomial[modifier | modifier le code]

Le lemme des noyaux, utilisé au paragraphe précédent, assure de plus que la projection πi sur chaque Ei parallèlement à la somme des autres est un polynôme en u ; notons-le Pi(u). On en déduit aussitôt que d et n aussi, puisque

d=\sum\lambda_i\pi_i=\left(\sum\lambda_i P_i\right)(u)\quad{\rm et}\quad n=u-d=\left(X-\sum\lambda_i P_i\right)(u).

Cas d'applications[modifier | modifier le code]

En dimension finie le théorème de Cayley-Hamilton assure que \chi_u(u)=0\chi_u désigne le polynôme caractéristique de u. Si \chi_u est scindé alors u est décomposable.

C'est en particulier le cas pour tout endomorphisme d'un espace de dimension finie sur un corps algébriquement clos (ℂ notamment).

Réduction de Jordan[modifier | modifier le code]

La décomposition de Dunford, combinée avec la décomposition de Frobenius permet d'obtenir la réduction de Jordan en dimension finie. En effet, d et n commutent donc les sous-espaces propres de d sont stables par n.

La restriction de n au sous-espace propre admet une matrice formée de blocs de Jordan nilpotents ce qui donne, en ajoutant λIp, des blocs de Jordan pour d + n dans une base adaptée. Ainsi, on obtient une matrice diagonale par blocs formée de blocs de Jordan en utilisant la réunion de ces bases.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Rached Mneimné, Réduction des endomorphismes, Calvage et Mounet, 2006, 398 p. (ISBN 978-2-91635201-5)
  • Alaeddine Ben Rhouma, Autour de la décomposition de Dunford. Théorie spectrale et méthodes effectives, CreateSpace Independent Publishing Platform, 2013, 38 p. (ISBN 978-1492343080)