Matrice de Vandermonde

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En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle tient son nom du mathématicien français Alexandre-Théophile Vandermonde.

Présentation

De façon matricielle, elle se présente ainsi :

$V=\begin{pmatrix} 1 & \alpha_1 & {\alpha_1}^2 & \dots & {\alpha_1}^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & {\alpha_2}^2 & \dots & {\alpha_2}^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & {\alpha_3}^2 & \dots & {\alpha_3}^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_m & {\alpha_m}^2 & \dots & {\alpha_m}^{n-1}\\ \end{pmatrix}$

Autrement dit, pour tous i et j, $V_{i,j} = {\alpha_i}^{j-1}.$

Remarque.

Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus.

Inversibilité

On considère une matrice V de Vandermonde carrée ($m=n$). Elle est inversible si et seulement si les $\alpha_i$ sont deux à deux distincts.

Démonstration

Si deux coefficients $\alpha_i$ sont identiques, la matrice a deux lignes identiques, donc n'est pas inversible.

Pour la réciproque, on peut procéder au calcul du déterminant, ce qui sera fait dans le prochain paragraphe.

Une preuve d'inversibilité plus rapide est cependant de considérer V comme la matrice du système linéaire homogène VX=0 pour X de composantes x₀, ... x_n-1

$\begin{cases} x_0 + \alpha_1 x_1 + \alpha_1^2 x_2 + &\dots + \alpha_1^{n-1} x_{n-1}=0\\ & \dots \\ x_0 + \alpha_n x_1 + \alpha_n^2 x_2 + &\dots + \alpha_n^{n-1} x_{n-1}=0 \end{cases}$

Mais en introduisant le polynôme

$P(Y)=\sum_{i=0}^{n-1} x_i Y^i$

On voit que si X vérifie l'équation VX=0, alors P admet n racines distinctes, soit plus que son degré. Donc P est nul, et ainsi X=0. Ce qui prouve que V est inversible.

Déterminant

Le déterminant d'une matrice $n \times n$ de Vandermonde ($m=n$ dans ce cas) peut s'exprimer ainsi :

$\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)$

Démonstrations

Il suffit d'exécuter l'opération élémentaire $C_{i}$ ← $C_{i} - (\alpha_1 \times C_{i-1})$ (sur les colonnes, en partant de $C_{n}$ et en remontant jusqu'à $C_{2}$).

Le déterminant reste inchangé puisque $\det{U_{i,j}(\lambda)} = 1$ et devient :

$\det(V)=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 1 & \alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\ 1 & \alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\\ \end{vmatrix}$

En développant selon la première ligne, il vient :

$\det(V)= 1 \times \begin{vmatrix} \alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\ \alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\\ \end{vmatrix}$

C’est-à-dire, par multilinéarité du déterminant :

$\det(V)= (\alpha_2-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_1)\dots(\alpha_n-\alpha_1) \begin{vmatrix} 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-2}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-2}\\ 1 & \alpha_4 & \alpha_4^2 & \dots & \alpha_4^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-2}\\ \end{vmatrix}$

Par récurrence immédiate, on retrouve le résultat annoncé.

Autre démonstration

Le déterminant $D(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ de la matrice est un polynôme en $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$. De plus ce déterminant s'annule lorsque deux des nombres $\alpha_i,\alpha_j$ sont égaux (puisqu'il y a alors deux lignes identiques). Par suite ce déterminant est égal à

$P(\alpha_1,\ldots,\alpha_n).Q(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$

où

$P(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\prod_{1\le i<j \le n} (\alpha_j-\alpha_i)$

et où $Q$ est lui-même un polynôme.

Cependant, le polynôme $D$ est homogène, de degré 0+1+…+(n-1)=n(n-1)/2. Puisqu'il en est de même de $P$, le polynôme $Q$ est en fait une constante. Enfin, cette constante vaut 1 puisque dans les développements de $D$ et de $P$, le coefficient du monôme $\alpha_n^{n-1}\alpha_{n-1}^{n-2}\ldots\alpha_2^1$ a la même valeur non nulle (égale à 1).

Voir aussi

Article connexe

• Interpolation lagrangienne

Lien externe

• [PDF] Didier Piau, Un tour du (Vander)monde en 70 minutes