Matrice de Vandermonde

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En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle tient son nom du mathématicien français Alexandre-Théophile Vandermonde.

Présentation[modifier | modifier le code]

De façon matricielle, elle se présente ainsi :

V=\begin{pmatrix}
1 & \alpha_1 & {\alpha_1}^2 & \dots & {\alpha_1}^{n-1}\\
1 & \alpha_2 & {\alpha_2}^2 & \dots & {\alpha_2}^{n-1}\\
1 & \alpha_3 & {\alpha_3}^2 & \dots & {\alpha_3}^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\
1 & \alpha_m & {\alpha_m}^2 & \dots & {\alpha_m}^{n-1}\\
\end{pmatrix}

Autrement dit, pour tous i et j, V_{i,j} = {\alpha_i}^{j-1}.

Remarque.
Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus.

Inversibilité[modifier | modifier le code]

On considère une matrice V de Vandermonde carrée (m=n). Elle est inversible si et seulement si les \alpha_i sont deux à deux distincts.

Démonstration

Si deux coefficients \alpha_i sont identiques, la matrice a deux lignes identiques, donc n'est pas inversible.

Pour la réciproque, on peut procéder au calcul du déterminant, ce qui sera fait dans le prochain paragraphe.

Une preuve d'inversibilité plus rapide est cependant de considérer V comme la matrice du système linéaire homogène VX=0 pour X de composantes x0, ... xn-1

\begin{cases}
x_0 + \alpha_1 x_1 + \alpha_1^2 x_2 + &\dots + \alpha_1^{n-1} x_{n-1}=0\\
& \dots \\
x_0 + \alpha_n x_1 + \alpha_n^2 x_2 + &\dots + \alpha_n^{n-1} x_{n-1}=0
\end{cases}

Mais en introduisant le polynôme

P(Y)=\sum_{i=0}^{n-1} x_i Y^i

On voit que si X vérifie l'équation VX=0, alors P admet n racines distinctes, soit plus que son degré. Donc P est nul, et ainsi X=0. Ce qui prouve que V est inversible.

Déterminant[modifier | modifier le code]

Le déterminant d'une matrice n \times n de Vandermonde (m=n dans ce cas) peut s'exprimer ainsi[1] :

\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Il suffit d'exécuter l'opération élémentaire  C_{i}  C_{i} - (\alpha_1 \times C_{i-1}) (sur les colonnes, en partant de C_{n} et en remontant jusqu'à C_{2}).

Le déterminant reste inchangé puisque \det{U_{i,j}(\lambda)} = 1 et devient :

\det(V)=\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & \dots & 0\\
1 & \alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\
1 & \alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\
\vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\
1 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\\
\end{vmatrix}


En développant selon la première ligne, il vient :

\det(V)= 1 \times \begin{vmatrix}
\alpha_2-\alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1)\\
\alpha_3-\alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3-\alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3-\alpha_1)\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
\alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\\
\end{vmatrix}

C’est-à-dire, par multilinéarité du déterminant :

\det(V)=
(\alpha_2-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha_1)\dots(\alpha_n-\alpha_1)
\begin{vmatrix}
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-2}\\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-2}\\
1 & \alpha_4 & \alpha_4^2 & \dots & \alpha_4^{n-2}\\
\vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\
1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-2}\\
\end{vmatrix}

Par récurrence immédiate, on retrouve le résultat annoncé.

Autre démonstration

Le déterminant D(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) de la matrice est un polynôme en \alpha_1,\ldots,\alpha_n. De plus ce déterminant s'annule lorsque deux des nombres \alpha_i,\alpha_j sont égaux (puisqu'il y a alors deux lignes identiques). Par suite ce déterminant est égal à

P(\alpha_1,\ldots,\alpha_n).Q(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)

P(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\prod_{1\le i<j \le n} (\alpha_j-\alpha_i)

et où Q est lui-même un polynôme.

Cependant, le polynôme D est homogène, de degré 0+1+…+(n-1)=n(n-1)/2. Puisqu'il en est de même de P, le polynôme Q est en fait une constante. Enfin, cette constante vaut 1 puisque dans les développements de D et de P, le coefficient du monôme \alpha_n^{n-1}\alpha_{n-1}^{n-2}\ldots\alpha_2^1 a la même valeur non nulle (égale à 1).

Note[modifier | modifier le code]

  1. Cette forme factorisée est utilisée par exemple dans l'épreuve de Mathématiques de l'agrégation externe 2006, partie I.10.[1]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Lelong-Ferrand, Jacqueline et Arnaudiès, Jean-Marie, Cours de mathématiques, tome 1 : algèbre, m.p. - spéciales m',m, Dunod, Paris, 1971; pages 316 à 319.
  • Guinin, Daniel, Aubonnet, François et Joppin, Bernard, Précis de mathématiques, Tome 2, Algèbre 2, 3e édition, Bréal, 1994; pages 19 et 20.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]