Matrice transposée

Cet article est une ébauche concernant l'algèbre. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

La transposée A^T d'une matrice A s'obtient par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice. La transposée de la transposée (A^T)^T est la matrice A d'origine.

La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice $A \in M_{m,n}(K)$ est la matrice notée $^{\operatorname t}\!A\in M_{n,m}(K)$ (aussi parfois notée $A^{\operatorname T}\,$, notation recommandée par la norme ISO 80000-2:2009, ou $A^{\operatorname t}\,$), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$.

Si B = ^tA alors $\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}\times\{1,\ldots,m\},\qquad b_{i,j} = a_{j,i}$.

Exemple : si $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$ alors $^{\operatorname t}\!A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$.

Propriétés

On suppose ici que K est un anneau commutatif.

• L'application « transposition » est linéaire :

$^{\operatorname t}\!(A + B) = ^{\operatorname t}\!A + ^{\operatorname t}\!B,\quad ^{\operatorname t}\!(\alpha A) = \alpha \ ^{\operatorname t}\!A.$

• La transposée de $^{\mathrm t}A$ est $A$. Autrement dit, l'application « transposition » $^{\operatorname t}\!:M_{n,n}(K) \to M_{n,n}(K)\,$ est une involution. Elle est par conséquent (non seulement linéaire, mais aussi) bijective. C'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels.
• La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse :

$^{\operatorname t}\!(AB) = ^{\operatorname t}\!B.^{\operatorname t}\!A.$

• Si une matrice carrée $A$ est inversible, alors sa transposée l'est aussi, et la transposée de l'inverse de $A$ est égale à l'inverse de sa transposée :

$^{\operatorname t}\!(A^{-1}) = (^{\operatorname t}\!A)^{-1}.~$

• Si $A$ désigne une matrice carrée de taille $n$ et $B$ sa transposée, alors $A$ et $B$ ont même diagonale principale (et par conséquent la même trace) : $\forall i \in\{1,\ldots,n\},\qquad b_{i,i} = a_{i,i}.$

En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.

• Plus généralement, deux matrices carrées transposées l'une de l'autre ont même polynôme caractéristique donc mêmes valeurs propres, comptées avec leurs multiplicités (en particulier, non seulement même trace mais aussi même déterminant), et même polynôme minimal. Mieux : sur un corps, elles sont semblables. Cela se montre en remarquant qu'elles ont les mêmes invariants de similitude.

Interprétation : dualité

Espaces euclidiens

Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire f : E → F par rapport à deux bases orthonormales B_E, B_F alors sa transposée ^tA représente la matrice, dans les bases B_F, B_E, de son opérateur adjoint f* : F → E, caractérisé par :

$\forall x\in E,\forall y\in F, \quad \langle x,f^*(y)\rangle = \langle f(x),y\rangle$

Plus généralement, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée ^tA représente la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir espace dual).

Hypergraphes

Dans la théorie des hypergraphes, si l'on représente un hypergraphe par la matrice à coefficients dans {0,1} qui lui est associée, l'hypergraphe dual est défini par la transposée de cette matrice.

Cas d'un anneau de scalaires non commutatif

Si K est un anneau non commutatif, on considère la transposée ^tA d'une matrice A de M_m,n(K) plutôt comme un élément de M_n,m(K^op), où K^op est l'anneau opposé de K, de manière à conserver la compatibilité avec la multiplication,

$^{\operatorname t}\!(AB) = ^{\operatorname t}\!B.^{\operatorname t}\!A.$

Vérifions qu'on peut identifier l'anneau M_1,1(K) avec l'anneau K, la transposition étant compatible avec cette identification : en identifiant l'ensemble M_1,1(K) avec l'ensemble K, les matrices $A, B \in M_{1,1}(K)$ s'identifient à leurs éléments respectifs $a,b \in K$. L'application $a \mapsto A$ de K dans M_1,1(K) est clairement un isomorphisme d'anneaux, d'où l'identification de l'anneau M_1,1(K) avec l'anneau K ; en particulier, $AB$ s'identifie à $ab$. Il reste à montrer que la transposition est compatible avec cette identification. En identifiant les matrices transposées $^{\operatorname t}\!A, ^{\operatorname t}\!B \in M_{1,1}(K)$ à $a,b \in K$ respectivement, on a dans M_1,1(K), d'après ce qui précède, $^{\operatorname t}\!(AB)=^{\operatorname t}\!B .^{\operatorname t}\!A=B . A$ où $B . A$ est le produit de $a$ et $b$ dans K^op, à savoir $b . a=ab$. Par conséquent, $^{\operatorname t}\!(AB)=ab$, donc $^{\operatorname t}\!(AB)$ s'identifie à $ab$, ce qui exprime la compatibilité attendue.

Voir aussi

• Trace d'une matrice
• Conditionnement d'une matrice