Matrice transposée

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La transposée AT d'une matrice A s'obtient par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice. La transposée de la transposée (AT)T est la matrice A d'origine.

La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice A \in M_{m,n}(K) est la matrice notée ^{\operatorname t}\!A\in M_{n,m}(K) (aussi parfois notée A^{\operatorname T}\,, notation recommandée par la norme ISO 80000-2:2009, ou A^{\operatorname t}\,), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.

Si B = tA alors \forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}\times\{1,\ldots,m\},\qquad b_{i,j} = a_{j,i}.

Exemple : si A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} alors ^{\operatorname t}\!A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

On suppose ici que K est un anneau commutatif.

  • L'application « transposition » est linéaire :
^{\operatorname t}\!(A + B) = ^{\operatorname t}\!A + ^{\operatorname t}\!B,\quad ^{\operatorname t}\!(\alpha A) = \alpha \ ^{\operatorname t}\!A.
  • La transposée de ^{\mathrm t}A est A. Autrement dit, l'application « transposition » ^{\operatorname t}\!:M_{n,n}(K) \to M_{n,n}(K)\, est une involution. Elle est par conséquent (non seulement linéaire, mais aussi) bijective. C'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels.
  • La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse :
^{\operatorname t}\!(AB) = ^{\operatorname t}\!B.^{\operatorname t}\!A.
  • Si une matrice carrée A est inversible, alors sa transposée l'est aussi, et la transposée de l'inverse de A est égale à l'inverse de sa transposée :
^{\operatorname t}\!(A^{-1}) = (^{\operatorname t}\!A)^{-1}.~
  • Si A désigne une matrice carrée de taille n et B sa transposée, alors A et B ont la même diagonale principale (et par conséquent la même trace) :
    \forall i \in\{1,\ldots,n\},\qquad b_{i,i} = a_{i,i}.
En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.

Interprétation : dualité[modifier | modifier le code]

Espaces euclidiens[modifier | modifier le code]

Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire f : EF par rapport à deux bases orthonormales BE, BF alors sa transposée tA représente la matrice, dans les bases BF, BE, de son opérateur adjoint f* : FE, caractérisé par :

\forall x\in E,\forall y\in F, \quad \langle x,f^*(y)\rangle = \langle f(x),y\rangle

Plus généralement, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée tA représente la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir espace dual).

Hypergraphes[modifier | modifier le code]

Dans la théorie des hypergraphes, si l'on représente un hypergraphe par la matrice à coefficients dans {0,1} qui lui est associée, l'hypergraphe dual est défini par la transposée de cette matrice.

Cas d'un anneau de scalaires non commutatif[modifier | modifier le code]

Si K est un anneau non commutatif, on considère la transposée tA d'une matrice A de Mm,n(K) plutôt comme un élément de Mn,m(Kop), où Kop est l'anneau opposé de K, de manière à conserver la compatibilité avec la multiplication,

^{\operatorname t}\!(AB) = ^{\operatorname t}\!B.^{\operatorname t}\!A.

Vérifions qu'on peut identifier l'anneau M1,1(K) avec l'anneau K, la transposition étant compatible avec cette identification : en identifiant l'ensemble M1,1(K) avec l'ensemble K, les matrices A, B \in M_{1,1}(K) s'identifient à leurs éléments respectifs a,b \in K. L'application a \mapsto A de K dans M1,1(K) est clairement un isomorphisme d'anneaux, d'où l'identification de l'anneau M1,1(K) avec l'anneau K ; en particulier, AB s'identifie à ab. Il reste à montrer que la transposition est compatible avec cette identification. En identifiant les matrices transposées ^{\operatorname t}\!A, ^{\operatorname t}\!B \in M_{1,1}(K) à a,b \in K respectivement, on a dans M1,1(K), d'après ce qui précède, ^{\operatorname t}\!(AB)=^{\operatorname t}\!B .^{\operatorname t}\!A=B . AB . A est le produit de a et b dans Kop, à savoir b . a=ab. Par conséquent, ^{\operatorname t}\!(AB)=ab, donc ^{\operatorname t}\!(AB) s'identifie à ab, ce qui exprime la compatibilité attendue.

Note[modifier | modifier le code]

  1. Matthieu Romagny, Une remarque sur la transposée d'une matrice, préparation 2008-2009 à l'agrégation de mathématiques, UPMC

Voir aussi[modifier | modifier le code]