Colinéarité

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En algèbre linéaire, deux vecteurs u et v d'un espace vectoriel E sont colinéaires s'il existe un scalaire k tel que u=kv ou v=ku. Deux vecteurs quelconques d'une droite vectorielle sont colinéaires. Quand elle porte sur un couple de vecteurs, la colinéarité est le contraire de l'indépendance linéaire : deux vecteurs u et v sont colinéaires si le couple (u,v) est non libre.

Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite.

La colinéarité est un outil important en géométrie dans l'enseignement secondaire : un couple de points (A,B) du plan ou de l'espace définit un vecteur géométrique \overrightarrow{AB} ; si A et B (resp A' et B') sont des points non confondus, les vecteurs \overrightarrow{AB} et  \overrightarrow{A'B'} sont colinéaires si et seulement si les droites (AB) et (A'B') sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.

Exemples[modifier | modifier le code]

En toute dimension, si u est le vecteur nul, alors u et v sont colinéaires pour tout v dans E, car u = 0v.

Si u est un vecteur non nul de E, l'ensemble des vecteurs colinéaires à u est la droite Ku.

Dans un espace vectoriel sur le corps F2, deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils sont égaux.

Géométrie affine[modifier | modifier le code]

En géométrie affine, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe deux représentants de ces vecteurs situés sur une même droite i.e. il existe trois points A, B, C alignés tels que

\overrightarrow{AB} = \vec u et \overrightarrow{AC} = \vec v

La colinéarité est une notion importante en géométrie affine car elle permet de caractériser

  • L'alignement : les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.
  • Le parallélisme de deux droites : les droites (AB) et (CD) sont parallèles ou confondues si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires

Relation d'équivalence[modifier | modifier le code]

Sur l'ensemble des vecteurs non nuls, la relation de colinéarité est

  • réflexive : un vecteur est colinéaire à lui-même
  • symétrique : Si un vecteur \vec u est colinéaire à un vecteur \vec v alors \vec v est colinéaire à \vec u
  • transitive :Si un vecteur \vec u est colinéaire à \vec v et si \vec v est colinéaire à \vec w alors \vec u est colinéaire à \vec w

Ce qui permet de dire que (sur l'ensemble des vecteurs non nuls) la relation de colinéarité est une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence forment l'espace projectif associé à l'espace vectoriel

Calcul en coordonnées[modifier | modifier le code]

Soient deux vecteurs u et v dans le plan R2, dont les coordonnées sont u=(u1, u2) et v=(v1,v2). S'ils sont tous deux non nuls, la colinéarité des deux vecteurs u et v se traduit par une relation de proportionnalité entre les couples (u1, u2) et (v1,v2). La règle du produit en croix implique : u et v sont colinéaires si et seulement si u1v2=v1u2.

Cette équivalence peut se généraliser à la dimension supérieure. Soit u et v deux vecteurs, dont les coordonnées dans une base fixée (ou dans un repère fixé) sont

u=(u_1,\dots,u_n)
v=(v_1,\dots,v_n).

Alors u et v sont colinéaires si et seulement si uivj = ujvi pour tous indices i et j.

En phylogénie[modifier | modifier le code]

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En biologie, on parle de colinéarité lors de l'étude du génome d'organisme et d'établissement d'arbres phylogénétiques. La notion de colinéarité correspond en quelque sorte à la synténie c'est-à-dire au maintien de l'ordre des gènes entre deux génomes.