Matrice de Hankel

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En algèbre linéaire, une matrice de Hankel, du nom du mathématicien Hermann Hankel, est une matrice carrée dont les valeurs sont constantes le long des diagonales ascendantes, c'est-à-dire dont les indices vérifient la relation a_{i,j} = a_{i-1,j+1}

Par exemple une matrice de Hankel de taille 5 s'écrit sous la forme

\begin{pmatrix}
a & b & c & d & e \\
b & c & d & e & f \\
c & d & e & f & g \\
d & e & f & g & h \\
e & f & g & h & i 
\end{pmatrix}

Les matrices de Toeplitz ont, elles, des valeurs constantes sur les diagonales descendantes.

Sur un espace de Hilbert muni d'une base hilbertienne, on peut définir plus généralement un opérateur de Hankel. Ce dernier admet pour représentation une matrice de Hankel infinie, c'est-à-dire que le coefficient a_{i,j}=(e_i|a(e_j)), dépend seulement de i+j.

Déterminant et transformation de Hankel[modifier | modifier le code]

À toute suite (b_n) on peut associer la suite des déterminants h_n des matrices de Hankel successives[1]

h_n = \begin{vmatrix}
b_0 &b_1&b_2&\dots&b_{n}\\
b_1 &b_2&b_3&\dots&b_{n+1}\\
b_2 &b_3&b_4&\dots&b_{n+2}\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
b_{n} &b_{n+1}&b_{n+2}&\dots&b_{2n}\\
\end{vmatrix}
  • une suite est nulle si et seulement si sa transformée de Hankel est nulle
  • une suite vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants si et seulement si la transformée de Hankel est nulle à partir d'un certain rang.


Éléments propres dans un cas particulier[modifier | modifier le code]

Un cas particulier de matrices de Hankel est celui de matrices anticirculantes, lorsque b_{n+j}=b_{j-1}.

Dans ce cas, on peut aisément diagonaliser les matrices de Hankel : On considère la base de diagonalisation des matrices circulantes de taille  n ; on note  P la matrice de passage associée d'élements générique  w^{(i-1)(j-1)} w=\exp \left( \frac{2i\pi}{n} \right) est une racine n- ième, primitive, de l'unité. On note  C_j ses colonnes.

Si  M est une marice de Hankel, on note  M'=P^{-1}MP. On remarque que  M'C_1=LC_1, où L=b_0 +b_1+b_2+\dots+b_{n-1} est la somme des coefficients de chaque ligne.

Si n est pair, -1 est racine n-ième de l'unité, le vecteur colonne  C_{n+2\over 2} est  (1,-1,1,\ldots,-1) et

 M'C_{n+2\over 2}=L'C_{n+2\over 2}, où L'=b_0 -b_1+b_2+\dots-b_{n-1} est la somme alternée des coefficients de chaque ligne.

Si j\not\in\{1,{n+2\over 2}\}, on voit que  M'C_j=L_jC_{n+2-j}L_j=b_0+b_1w^{j-1}+b_2w^{2(j-1)}+\dots-b_{n-1}w^{(n-1)(j-1)} ; la valeur en w^{j-1} du polynôme associé : P(X)=\sum_{k=0}^nb_kX^k.

On remarque que le plan Vect(C_j,C_{n+2-j}) est stable sous l'action de l'endomorphisme canoniquement associé à M ; la restriction à cet espace, de l'endomorphisme (complexe) associé, a pour matrice dans la base des deux colonnes (C_j,C_{n+2-j})  : 
A =
\begin{pmatrix}
 0&L_j\\
L_{n+2-j}&0
\end{pmatrix}  
 ; on en déduit M', puis une diagonalisation de M.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) John W. Layman, The Hankel Transform and some of its properties, Journal of Integer Sequences, vol 4 (2001)

Voir aussi[modifier | modifier le code]