Matrices congruentes

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En algèbre linéaire, deux matrices carrées A et B (de même taille et à coefficients dans un même corps K) sont dites congruentes si elles représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes, c'est-à-dire s'il existe une matrice inversible P telle que[1]

B=^{\rm t}\!\!PAP,

tP est la transposée de P.

Propriétés[modifier | modifier le code]

La congruence définit une relation d'équivalence sur les matrices carrées même taille à coefficients dans K.

Deux matrices congruentes ont même rang.

Sur un corps de caractéristique différente de 2, toute matrice symétrique de rang r est congruente à une matrice diagonale à r coefficients non nuls[2].

Toute matrice symétrique réelle est congruente à une matrice diagonale n'ayant que des 0, des 1 et –1 sur la diagonale.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence, vol. 2, Dunod,‎ 2014, 2e éd. (1re éd. 2007) (ISBN 978-2-10-071392-9, lire en ligne), p. 111.
  2. (en) Sam Perlis, Theory of Matrices, Dover Publications,‎ 1991 (1re éd. 1952) (lire en ligne), p. 90.

Articles connexes[modifier | modifier le code]