Symétrie vectorielle

En algèbre linéaire, une symétrie vectorielle est une application linéaire qu'on peut présenter de deux façons équivalentes^[1] :

une application linéaire associée à une décomposition de E comme somme de deux sous-espaces supplémentaires consistant, après avoir décomposé le vecteur en ses deux composantes, à changer le signe d'une des composantes
une application linéaire involutive : elle vérifie $s 2 = Id$ .

Définition par décomposition[modifier | modifier le code]

En considérant (K,+,.) un corps, (E,+,•) un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E, la symétrie par rapport à F parallèlement à G est l'unique endomorphisme s de E tel que la restriction de s sur F est l'injection canonique de F dans E et la restriction de s sur G est l'opposé de l'injection canonique de G dans E.

N'importe quel vecteur x de E peut s'écrire d'une façon unique comme somme d'un vecteur de F et d'un vecteur de G : $\forall x\in E,\exists !(x',x'')\in F\times G,x=x'+x''$ . La symétrie par rapport à F parallèlement à G est alors l'application :

{\begin{matrix}s:&E=F\oplus G&\rightarrow E\\&x=x'+x''&\mapsto x'-x''\end{matrix}}

Il est immédiat de remarquer que s ∘ s = Id_E .

Définition par involution[modifier | modifier le code]

Si la caractéristique de K est différente de 2 alors, pour tout endomorphisme s de E tel que $s \circ s = Id E$ , les sous-espaces $Ker(s - Id E)$ et $Ker(s + Id E)$ sont supplémentaires, et s est la symétrie par rapport au premier, parallèlement au second^[2].

La notion de symétrie vectorielle est liée à celle des projecteurs et projections.

si p est un projecteur et q = Id - p sa projection associée alors s = p - q est une symétrie.
Si la caractéristique de K est différente de 2, si s est une symétrie, p = ¹⁄₂(s + Id) et q = ¹⁄₂(s - Id) sont ses projecteurs associés.

Symétrie orthogonale[modifier | modifier le code]

Dans un espace quadratique, la symétrie est dite orthogonale si les sous-espaces F et G sont orthogonaux. Une symétrie orthogonale est une isométrie.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ pour un corps K de caractéristique différente de 2
↑ La démonstration est courte : voir par exemple « Symétrie » sur Wikiversité.

Portail de l’algèbre

[1] ur un corps K de caractéristique différente de 2

[2] La démonstration est courte : voir par exemple « Symétrie » sur Wikiversité.

[1]

[2]

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau