Mesure signée

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En mathématiques, on définit une mesure signée comme étant une mesure pouvant prendre des valeurs négatives.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un espace mesurable (X, Σ), c'est-à-dire un ensemble X muni d'une tribu Σ, une mesure signée est une fonction

\mu:\Sigma\to\R\cup\{\infty,-\infty\}

qui vérifie \mu (\varnothing)=0, et qui est sigma additive, c'est-à-dire

 \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)

pour toute suite A1, A2, ..., An, ... d'ensembles disjoints dans Σ. À noter qu'une mesure signée peut prendre comme valeur +∞ mais pas −∞, ou inversement, puisque l'expression ∞−∞ n'est pas définie (voir Droite réelle achevée), et doit donc être évitée.

Pour clarifier, on explicitera le terme de mesure positive, au lieu du simple mesure, pour les mesures signées n'ayant pas de valeurs strictement négatives.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Variation (en) |μ| d'une mesure μ


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Signed measure » (voir la liste des auteurs)