Diagonalisation

En mathématiques, la diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire qui permet de simplifier la description de certains endomorphismes d'un espace vectoriel ou, de manière analogue, de matrices. Elle consiste à rechercher et expliciter une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres, lorsqu'il en existe une. En dimension finie, la diagonalisation revient en effet à décrire cet endomorphisme à l'aide d'une matrice diagonale.

Ce procédé se ramène donc à une réduction maximale de l'endomorphisme, c'est-à-dire à une décomposition de l'espace vectoriel en une somme directe de droites vectorielles stables par l'endomorphisme. Sur chacune de ces droites, l'endomorphisme se réduit à une homothétie. La diagonalisation d'un endomorphisme permet un calcul rapide et simple de ses puissances et de son exponentielle, ce qui permet d'exprimer numériquement certains systèmes dynamiques linéaires, obtenus par itération ou par des équations différentielles.

Méthode

• Dans la plupart des cas, il est nécessaire de calculer le polynôme caractéristique de la matrice, afin de déterminer ses valeurs propres et les sous-espaces propres associés :
  Pour $\scriptstyle M\in\mathcal M_n(K)$ le polynôme caractéristique est $\chi_M(x)={\rm det}(xI_n-M)$ où $x$ est l'indéterminée et $I_n$ est la matrice unité de $\scriptstyle\mathcal M_n(K)$.
  Les valeurs propres $\lambda_i$ sont les racines de $\chi_M$, il y a donc au plus $n$ valeurs propres de multiplicité $m_i$.
  On détermine ensuite, pour chaque valeur propre, le sous-espace propre qui lui est associé : $E_{\lambda _i}={\rm Ker}(M-\lambda _i I_n).$ La matrice n'est diagonalisable que si la dimension de chaque sous-espace propre $\scriptstyle E_{\lambda _i}$ est égale à la multiplicité $m_i$ de la valeur propre $\lambda_i$, ce qui signifie que pour chaque $\lambda_i$ on a une base de $m_i$ vecteurs propres que l'on note $X_ {i,j}$, $\scriptstyle1\le j\le m_i$.
  Alors il existe une matrice inversible $U$ telle que $U^{-1}MU$ soit égale à une matrice diagonale $D$ dont les coefficients diagonaux sont les $\lambda_i$ répétés $m_i$ fois et $U$ est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs $X_ {i,j}$ (l'ordre n'a pas d'importance, mais si on a le vecteur $X_ {i,j}$ sur la k-ième colonne de $U$, alors on a la valeur propre $\lambda_i$ sur la k-ième colonne de $D$).
• Il est aussi possible de déterminer directement les valeurs propres, et des bases des sous-espaces propres associés. La matrice $M$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des différents sous-espaces propres est égale à $n$. Si la matrice est diagonalisable, alors il existe une matrice inversible $P$ obtenue en plaçant les unes à côté des autres, les colonnes propres formant une base de chacun des sous-espaces, et la matrice $D=P^{-1} M P$ est alors diagonale. La dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre, correspond au nombre de fois que celle-ci est répétée sur la diagonale de la matrice diagonale $D$ semblable à la matrice $M$.

Exemples

Premier exemple

Considérons la matrice :

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix}.$

Cette matrice admet comme valeurs propres :

$\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1.$

Ainsi $A$ qui est de taille 3, a 3 valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable.

Si nous voulons diagonaliser $A$, nous avons besoin de déterminer les vecteurs propres correspondants. Il y a par exemple :

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}.$

On vérifie facilement que $A v_k = \lambda_k v_k$.

Maintenant soit $P$ la matrice ayant ces vecteurs propres comme colonnes :

$P= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \end{pmatrix}.$

Alors « $P$ diagonalise $A$ », comme le montre un simple calcul :

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$

Remarquons que les valeurs propres $\lambda_k$ apparaissent sur la diagonale de la matrice dans le même ordre que nous avons placé les colonnes propres pour former $P$.

Deuxième exemple

Soit $A= \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$
$\chi_A(T)=\operatorname{det}(TI_3-A)= \begin{vmatrix} T & -3 & 1 \\ -2 & T+1 & -1 \\ 0 & 0 & T-2 \end{vmatrix}= (T-2)^2 (T+3)$ (voir le calcul d'un déterminant)
Donc les valeurs propres sont :

• 2 de multiplicité 2,
• -3 de multiplicité 1.

Calcul des sous-espaces propres :

Calcul de $E_2$ : On cherche les $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ tels que :

$(A-2I_3)X=0 \,$

$\Leftrightarrow {\begin{pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}} = 0 \Leftrightarrow -2x_1+3x_2-x_3=0$

Donc $E_2=\operatorname{Vect} \left\{ {\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \right\}$

On procède de même pour $E_{-3}$ et on obtient :

$E_{-3}=\operatorname{Vect} \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$
On a bien : $\operatorname{dim}( E_2 )=2 \,$ et $\operatorname{dim}( E_{-3} )=1 \,$, donc cette matrice est diagonalisable.

Une diagonalisation possible est : $B=U^{-1}AU={\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & {-3}\end{pmatrix}}$, avec $U = {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & -2 & 0\end{pmatrix}}.$

Limites et généralité

Tous les endomorphismes ne sont pas diagonalisables. Cependant :

• Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme est scindé si et seulement si son polynôme minimal l'est, et sur un corps algébriquement clos comme ℂ, ils le sont toujours. Dans ce cas, la décomposition de Dunford assure que l'endomorphisme se décompose comme somme d'un endomorphisme diagonalisable et d'un nilpotent qui commutent, ce qui facilite le calcul de ses puissances et ses exponentielles.
• Dans l'ensemble des matrices carrées de taille fixée à coefficients dans ℝ ou ℂ, l'ensemble des matrices diagonalisables est dense.

Bibliographie

(en) Richard S. Varga, Matrix Iterative Analysis, Springer, 2010 (ISBN 978-3-64205154-8)

Articles connexes

• Analyse en composantes principales
• Matrice nilpotente (pour des exemples de matrices non diagonalisables)
• Réduction de matrice
• Trigonalisation