Matrice de Sylvester

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En algèbre linéaire, la matrice de Sylvester de deux polynômes apporte des informations d'ordre arithmétique sur ces polynômes. Elle tient son nom de James Joseph Sylvester. Elle sert à la définition du résultant de deux polynômes.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient p et q deux polynômes non nuls, de degrés respectifs m et n.

p(z)=p_0+p_1 z+p_2 z^2+\cdots+p_m z^m,\;q(z)=q_0+q_1 z+q_2 z^2+\cdots+q_n z^n.

La matrice de Sylvester associée à p et q est la matrice carrée (n+m)\times(n+m) définie ainsi :

  • la première ligne est formée des coefficients de p, suivis de 0
\begin{pmatrix} p_m & p_{m-1} & \cdots & p_1 & p_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} ;
  • la seconde ligne s'obtient à partir de la première par permutation circulaire vers la droite ;
  • les (n-2) lignes suivantes s'obtiennent en répétant la même opération ;
  • la ligne (n+1) est formée des coefficients de q, suivis de 0
\begin{pmatrix} q_n & q_{n-1} & \cdots & q_1 & q_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} ;
  • les (m-1) lignes suivantes sont formées par des permutations circulaires.

Ainsi dans le cas m=4 et n=3, la matrice obtenue est

S_{p,q}=\begin{pmatrix} 
p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 & 0 \\
0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 \\
0 & 0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 \\
q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 \\
\end{pmatrix}.


Le déterminant de la matrice de p et q est appelé déterminant de Sylvester ou résultant de p et q.

Applications[modifier | modifier le code]

L'équation de Bézout d'inconnues les polynômes x (de degré < n) et y (de degré < m)

xp + yq = 0

peut être réécrite matriciellement

(S_{p,q})^t\begin{pmatrix}\tilde x\\\tilde y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}

dans laquelle t désigne la transposition, \tilde x est le vecteur de taille n des coefficients du polynôme x (dans l'ordre décroissant), et \tilde y le vecteur de taille m des coefficients du polynôme y.

Ainsi le noyau de la matrice de Sylvester donne toutes les solutions de cette équation de Bézout avec \deg x < \deg q et \deg y < \deg p.

Le rang de la matrice de Sylvester est donc relié au degré du PGCD de p et q.

\deg(\mathrm{pgcd}(p,q)) = m+n-\mathrm{rang}~S_{p,q}.

Notamment, le résultant de p et q est nul si et seulement si p et q ont un facteur commun de degré supérieur ou égal à 1.