Matrice génératrice

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Une matrice génératrice est un concept de théorie des codes utilisé dans le cas des codes linéaires.

Elle correspond à la matrice de l'application linéaire de E l'espace vectoriel des messages à communiquer dans F, l'espace vectoriel contenant les codes transmis.

La notion de matrice génératrice possède à la fois un intérêt théorique dans le cadre de l'étude des codes correcteurs, par exemple pour définir la notion de code systématique, et un intérêt pratique pour une implémentation efficace.

Contexte[modifier | modifier le code]

Code correcteur[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Code correcteur.

Un code correcteur possède pour objectif la détection ou la correction d'erreurs après la transmission d'un message. Cette correction est permise grâce à l'ajout d'informations redondantes. Le message est plongé dans un ensemble plus grand, la différence de taille contient la redondance, l'image du message par le plongement est transmis. En cas d'altération du message, la redondance est conçue pour détecter ou corriger les erreurs. Un exemple simple est celui du code de répétition, le message est, par exemple, envoyé trois fois, le décodage se fait par vote. Ici, l'ensemble plus grand est de dimension triple à celle du message initial.

Rappelons les éléments de base de la formalisation. Il existe un ensemble E constitué de suites à valeurs dans un alphabet et de longueur k, c’est-à-dire qu'à partir du rang k, toutes les valeurs de la suite sont nulles. Ces éléments sont l'espace des messages que l'on souhaite communiquer. Pour munir le message de la redondance souhaitée, il existe une application φ injective de E à valeurs dans F, l'espace des suites de longueur n à valeurs dans un alphabet. La fonction φ est appelée encodage, φ(E) aussi noté C est appelé le code, un élément de φ(E) mot du code, n la longueur du code et k la dimension du code. Ces notations sont utilisées dans tout l'article.

Code linéaire[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Code linéaire.

Un code linéaire dispose d'une structure algébrique plus riche que celle du cadre général des codes correcteurs. Les alphabets A et A' sont identifiés et munis d'une structure de corps fini. Le cas le plus fréquent consiste à choisir le corps F2 ou l'une de ses extensions finies. Ce corps correspond à l'alphabet binaire dont les tables d'addition et de multiplication sont données ci-dessous:

 +   0   1 
 0   0  1
 1   1  0
 .   0   1 
 0   0  0
 1   0  1

Les ensembles E et F sont naturellement munis d'une structure d'espace vectoriel de dimension respectives k et n. Si Fd désigne le corps fini (cf l'article corps fini) de cardinal dd est une puissance d'un nombre premier p, alors l'espace vectoriel F est généralement identifié à Fdn.

F est muni d'une distance qui dérive du poids de Hamming. La distance entre deux points de F correspond au nombre de coordonnées non nulles de la différence entre les deux points, dans la base canonique. Un code se décrit par trois paramètres, noté [n, k, δ], n est la dimension du code, k la longueur du code et δ la distance minimale entre deux mots du code. Ces notations sont utilisées dans le reste de l'article.

Enfin, l'application d'encodage φ est choisie linéaire, le code est donc un sous-espace vectoriel.

Définitions[modifier | modifier le code]

Une notion naturelle apparait et donne lieu à la définition suivante :

  • La matrice génératrice G d'un code linéaire est la matrice de l'application linéaire d'encodage φ dans les bases canoniques.

L'égalité suivante est naturellement vérifiée d'après les propriétés des matrices :

\forall x \in \mathbb{F}_q^k \quad  x.G = \varphi (x) \in C \subset \mathbb{F}_q^n

On remarque que la dimension de la matrice génératrice est k x n car E est de dimension k et F de dimension n.

  • Deux matrices génératrices G et G' sont dites équivalentes si et seulement s'il existe une matrice carrée P d'un automorphisme de E tel que : G' = G.P.

Les codes de longueur k et de dimension n sur un même corps fini possèdent exactement les mêmes propriétés si leurs matrices génératrices sont équivalentes. En particulier, ils possèdent la même distance minimale. En effet, l'image de φ, c’est-à-dire le code reste inchangé par toute permutation préalable sur l'ensemble E, en particulier par un automorphisme. Il n'en est pas de même pour F, un automorphisme peut associer à deux vecteurs à une distance de Hamming de δ, deux vecteurs à une distance de un, ce qui détruirait toutes les propriétés du code.

Exemples[modifier | modifier le code]

Code de répétition[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Code de répétition.

Un code de répétition est un code qui à un message m de longueur k, associe le message m...m. Si son alphabet est choisi comme étant égal à un corps fini, alors le code est linéaire de matrice génératrice Gr égale à :

G_r=\begin{pmatrix} I_k \\ \vdots \\ I_k \end{pmatrix} \quad avec \quad I_k=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}

Somme de contrôle[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Somme de contrôle.

La somme de contrôle correspond à un code de paramètre [k + 1, k, 2], à un message est associé le mot du code égal au message concaténé avec la somme (à valeur dans le corps fini) de toutes les lettres du message. Si le code est binaire, cela revient à associer un si la somme des lettres est impaire et zéro sinon. Dans le cas général, il a pour matrice génératrice Gs et, en utilisant les notations précédentes :

G_s={I_k \choose C}\quad avec \quad C = (-1, \cdots ,-1)

Code de Hamming (7,4)[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Code de Hamming (7,4).
Description du code de Hamming binaire de paramètre [7,4,3]

Le code de Hamming (7,4) est un code binaire de paramètre [7,4,3]. La figure de droite est une représentation graphique de ce code. Le message est le mot d1d2d3d4. Le mot du code est constitué des quatre lettres du mot du message, puis de trois sommes de contrôles p1p2p3. La valeur de pi est égal à zéro si la somme des trois lettres du message incluses dans son cercle sur la figure est paire et un sinon.

Il possède donc la matrice génératrice Gh suivante :

G_h=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Propriétés[modifier | modifier le code]

Code systématique[modifier | modifier le code]

Il existe une forme de la matrice génératrice particulièrement simple, ce qui donne lieu à la définition suivante :

  • Un code linéaire dont la matrice génératrice possède pour k premières colonnes une matrice identité est dit code systématique.

La matrice prend alors la forme suivante :

^tx.G=(x_1,\cdots ,x_k).
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & c_{1 k+1} & \cdots & c_{1 n} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & c_{k-1 k+1} & \cdots & c_{k-1 n} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{k k+1} & \cdots & c_{k n} \end{pmatrix}
=(x_1,\cdots ,x_k,b_1,\cdots ,b_{n-k})

Cette forme est particulièrement intéressante, le calcul du mot de code consiste à la détermination des n - k dernières coordonnées, car les k premières correspondent à celles du message initial. De plus, sous réserve d'absence d'altération, le décodage est lui aussi rapide, il consiste à ne considérer uniquement les n premières coordonnées du mot du code. On remarque au passage que le nombre de lignes de la matrice génératrice est égale à l'ordre du vecteur à coder (ici noté k), sans quoi le produit matriciel n'a pas de sens.

  • Les n - k dernières colonnes (cij) de la matrice génératrice sont appelées contrôles de redondance.
  • Les n - k dernières coordonnées (bj) d'un code systématique sont dits bits de contrôle ou parfois somme de contrôle.

Ces coordonnées correspondent exactement à la redondance, leur objectif est la détection ou la correction d'erreurs éventuelles. Dans le cas binaire, elles correspondent à la parité de sommes de lettres du message d'origine, on parle alors souvent de bits de parité.

Les codes linéaires peuvent tous se mettre sous cette forme :

  • Tout code linéaire est équivalent à un code systématique.

Ce qui signifie que, quitte à modifier la base de E, il est possible d'exprimer la matrice génératrice du code grâce à une matrice systématique.

Références[modifier | modifier le code]

Annexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]