Matrice de Hilbert

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En algèbre linéaire, une matrice de Hilbert (en hommage au mathématicien David Hilbert) est une matrice carrée de terme général

B_{i,j} := \frac{1}{i+j-1}.

Ainsi, la matrice de Hilbert de taille 5 vaut

\mathcal{B} = \begin{pmatrix} 
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt]
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\[4pt]
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\[4pt]
\frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\[4pt]
\frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{pmatrix}.

Les matrices de Hilbert servent d'exemples classiques de matrices mal conditionnées, ce qui en rend l'usage très délicat en analyse numérique. Par exemple, le coefficient de conditionnement (pour la norme 2) de la matrice précédente est de l'ordre de 4,8×10⁵.

Le déterminant de telles matrices peut être calculé de façon explicite, comme cas particulier d'un déterminant de Cauchy.

Si on interprète le terme général de la matrice de Hilbert comme

B_{i,j} = \int_0^1 x^{i+j-2} \,\mathrm{d}x,

on peut y reconnaître une matrice de Gram pour les fonctions puissances et le produit scalaire adapté.

Les matrices de Hilbert sont définies positives.

Article connexe[modifier | modifier le code]