Trigonalisation

En algèbre linéaire, trigonaliser (on dit aussi triangulariser) une matrice consiste à réduire celle-ci sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure, ou inférieure. Ceci n'est possible que sous certaines conditions.

Une matrice pouvant se réduire sous cette forme est dite trigonalisable (ou triangularisable).

Dans la suite, on se donne un entier $n>0$ et $K$ un corps commutatif. $M_n(K)$ désignera l'algèbre des matrices à $n$ lignes et $n$ colonnes à coefficients dans $K$.

Matrices triangulaires

Article détaillé : matrice triangulaire.

Une matrice triangulaire supérieure est une matrice dont tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale principale sont nuls. En général, on note $\scriptstyle T_n^+(K)$ l'ensemble des matrices triangulaires supérieures. C'est un sous-espace vectoriel stable par produit, donc une sous-algèbre de $M_n(K)$.

Une matrice triangulaire supérieure $T$ est donc de la forme :

$T= \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & \cdots & a_{1,n} \\ 0 & \ddots & \ddots & a_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n,n} \end{pmatrix}.$

Remarque : de la même manière, une matrice triangulaire inférieure est une matrice dont tous les coefficients situés strictement au-dessus de la diagonale sont nuls.

Endomorphismes et matrices trigonalisables

• Soit $\scriptstyle M\in M_n(K)$, on dit que $M$ est une matrice trigonalisable s'il existe une matrice inversible $\scriptstyle P\in GL_n(K)$ et une matrice triangulaire $\scriptstyle T\in T_n^+(K)$ telles que : $M= PTP^{-1}$ (ou, ce qui est équivalent : $T= P^{-1}MP$). Cela revient à dire que $M$ est semblable dans $M_n(K)$ à une matrice triangulaire supérieure (ou à une matrice triangulaire inférieure, ce qui est équivalent puisque $M$ est semblable à sa transposée).
  En particulier, toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable (il suffit de choisir $P = I_n$ où $I_n$ est la matrice identité de dimension $n$).
• Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que $u$ est un endomorphisme trigonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.
• Ces deux définitions sont reliées par le fait qu'un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans au moins une base de $E$ est trigonalisable ; dans ce cas, sa matrice dans n'importe quelle base de $E$ est trigonalisable.

Conditions de trigonalisation

Il existe plusieurs critères pour savoir si une matrice ou un endomorphisme sont trigonalisables :

• Toute matrice diagonalisable est a fortiori trigonalisable (car une matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire).
• Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans $K[X]$.
  En particulier, si $K$ est algébriquement clos, toute matrice carrée à coefficients dans $K$ est trigonalisable et donc aussi tout endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel de dimension finie.
  Sur le corps des nombres complexes (algébriquement clos d'après le théorème de d'Alembert-Gauss), Issai Schur a démontré un résultat plus précis :

Théorème de décomposition de Schur (en) — Toute matrice carrée complexe est trigonalisable dans une base orthonormale.

• Un endomorphisme est trigonalisable s'il existe un drapeau de $E$ stable par cet endomorphisme.

Exemples de trigonalisation

Matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels

Soit $M=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ -\frac{3}{4} & -2 \end{pmatrix}$ une matrice, son polynôme caractéristique est $P_M(X)=\left(X+\frac{1}{2}\right)^2$ qui a comme unique racine $\frac{-1}{2}$ qui est donc l'unique valeur propre de $M$. L'espace propre associé à la valeur propre $\frac{-1}{2}$ est $E_{\frac{-1}{2}}=\left\{\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2\;;\;M\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\frac{-1}{2}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\right\}=\left\{\begin{pmatrix}2x\\ -x\end{pmatrix}\;;\;x\in\mathbb{R}\right\}$, $E_{\frac{-1}{2}}$ est donc un sous espace vectoriel de dimension 1 qui a pour base le vecteur $e_1^'=\begin{pmatrix}2\\ -1\end{pmatrix}$. On peut alors compléter $e_1^'$ avec par exemple le vecteur $e_2^'=\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}$ de manière à ce que $\mathfrak{B}'=(e_1^',e_2^')$ forme une base de l'espace $\mathbb{R}^2$ tout entier. On sait déjà que $Me_1^'=\frac{-1}{2}e_1^'$ et on a facilement $Me_2^'=\begin{pmatrix}3\\ -2\end{pmatrix}=\frac{3}{2}e_1^'-\frac{1}{2}e_2^'$, la matrice $M$ dans la base $\mathfrak{B}'$ s'écrit donc $T=\begin{pmatrix}\frac{-1}{2} & \frac{3}{2}\\ 0 & \frac{-1}{2}\end{pmatrix}$. On remarquera que la dimension de l'espace propre ne permettait pas ici de diagonaliser la matrice $M$. La matrice $P$ telle que $M=PTP^{-1}$ n'est autre que la matrice de passage de la base canonique $\mathfrak{B}=(e_1,e_2)$ à la base $\mathfrak{B}'$, $P$ est donc constituée des vecteurs de $\mathfrak{B}'$ exprimés dans la base $\mathfrak{B}$ donc $P=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -1 & 1\end{pmatrix}$. De même, pour avoir la matrice $P^{-1}$ il suffit d'exprimer les vecteurs de $\mathfrak{B}$ dans la base $\mathfrak{B}'$, on a facilement $e_1=\frac{1}{2}e_1^'+\frac{1}{2}e_2^'$ et $e_2=e_2^'$ et donc $P^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0\\ \frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}$.

Exemple de trigonalisation d'une matrice carrée d'ordre 3

Soit $M=\begin{pmatrix}i & 2 & -1\\0 & i & 0\\0 & -1 & 2\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{C})$ son polynôme caractéristique est $P_M(X)=\left(X-i\right)^2(X-2)$. Comme dans l'exemple précédent on a après calculs : $e_1^'=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\in E_{i}$ et $e_2^'=\begin{pmatrix}1\\0\\i-2\end{pmatrix}\in E_{2}$ que l'on complète avec $e_3^'=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ pour former une base $\mathfrak{B'}=(e_1^',e_2^',e_3^')$ de ℂ³. On remarque que $Me_3^'=\frac{8-i}{5}e_1^'+\frac{2+i}{5}e_2^'+ie_3^'$. La matrice $M$ dans la base $\mathfrak{B'}$ est donc $T=\begin{pmatrix}i & 0 & \frac{8-i}{5}\\0 & 2 & \frac{2+i}{5}\\0 & 0 & i\end{pmatrix}$ et l'on a $M=PTP^{-1}$ avec $P$ la matrice de passage de la base canonique $\mathfrak{B}$ à la base $\mathfrak{B}'$, $P$ est donc constituée des vecteurs de $\mathfrak{B'}$ exprimés dans la base $\mathfrak{B}$ d'où $P=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & i-2 & 0\end{pmatrix}$ et $P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{2+i}{5}\\0 & 0 & \frac{-2-i}{5}\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$.

Articles connexes

• Diagonalisation
• Réduction d'endomorphisme
• Réduction de matrice
• Bloc de Jordan
• Théorèmes de trigonalisation simultanée :
  • Théorème de Lie (1876)
  • Théorème de Engel (1890)
  • Théorème de McCoy (1934)
  • Théorème de Lie-Kolchin (1948)