Espace régulier

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En mathématiques, un espace régulier est[1] un espace topologique vérifiant les deux conditions de séparation suivantes[2] :

Propriété T3[modifier | modifier le code]

Regular space.svg

Soit E un espace topologique (non nécessairement séparé). Les propositions suivantes sont équivalentes :

  • E est T3 ;
  • on peut séparer un point x et un fermé ne contenant pas x par deux ouverts d'adhérences disjointes ;
  • tout point x admet une base de voisinages fermés (autrement dit : tout ouvert contenant x contient un voisinage fermé de x)[1] ;
  • tout fermé est l'intersection de ses voisinages fermés[3].

La topologie grossière (sur n'importe quel ensemble) est T3.

La propriété T3 est (de même que T2) préservée par sous-espaces et par produits.

Espace complètement régulier[modifier | modifier le code]

Un espace topologique est dit complètement régulier s'il est uniformisable et séparé[4]. Tout espace complètement régulier est régulier, car un espace X est uniformisable si et seulement si pour tout point x de X et tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une fonction continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F.

Par exemple, tout groupe topologique séparé est complètement régulier. Les espaces normaux et les espaces localement compacts sont complètement réguliers.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b N. Bourbaki, Topologie générale, Chapitres 1 à 4, Springer,‎ (1re éd. 1971), 376 p. (ISBN 978-3-540-33936-6, lire en ligne), p. I.56.
  2. Ou simplement T0 et T3, puisque T0∧T3 ⇒ T2.
  3. (en) « A topological space is regular if and only if any closed set Z is the intersection of its closed neighborhoods? », sur math.stackexchange.
  4. N. Bourbaki, Topologie générale, Chapitres 5 à 10, Springer,‎ (1re éd. 1974), 336 p. (ISBN 978-3-540-34486-5, lire en ligne), p. IX.8.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Espace semi-régulier (en)