Espace régulier

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En topologie, un espace régulier est un espace séparé[1] dans lequel on peut de plus séparer un point x et un fermé ne contenant pas x par deux ouverts disjoints[2]. Ces deux conditions sont parfois appelées respectivement axiomes T2 et T3 au sein des axiomes de séparation.

Espace régulier[modifier | modifier le code]

Dans la définition ci-dessus, on peut même alors choisir ces deux ouverts de manière que leurs adhérences respectives soient disjointes.

L'axiome T3 équivaut à la condition : tout point admet une base de voisinages fermés, ou encore[3] : tout fermé est l'intersection de ses voisinages fermés. Il est vérifié par la topologie grossière.

La régularité est préservée par sous-espaces et par produits.

Espace complètement régulier[modifier | modifier le code]

Un espace topologique est dit complètement régulier s'il est uniformisable et séparé[4]. Tout espace complètement régulier est régulier, car un espace X est uniformisable si et seulement si pour tout point x de X et tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une fonction continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F.

Par exemple, tout groupe topologique séparé est complètement régulier. Les espaces normaux et les espaces localement compacts sont complètement réguliers.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Espace semi-régulier (en)