Espace à base dénombrable

En mathématiques, plus précisément en topologie, un espace est dit à base dénombrable si sa topologie admet une base dénombrable. La plupart des espaces usuels de l'analyse et beaucoup d'espaces en analyse fonctionnelle sont à base dénombrable.

Propriétés

• Tout sous-espace d'un espace à base dénombrable et tout produit dénombrable d'espaces à base dénombrable sont eux-mêmes à base dénombrable.
• Tout espace métrique compact est à base dénombrable.
• La topologie d'un espace à base dénombrable a au plus la puissance du continu.
• Tout espace à base dénombrable est séparable, mais la réciproque est fausse (il existe même des espaces compacts séparables qui ne sont pas à base dénombrable : voir l'article Espace séparable).
• Cependant, tout espace métrisable séparable est à base dénombrable. Réciproquement, un théorème d'Urysohn affirme que tout espace régulier (en particulier tout espace localement compact) à base dénombrable est métrisable.
• Tout espace métrisable à base dénombrable est homéomorphe à un sous-espace du cube de Hilbert.
• Tout espace métrisable à base dénombrable totalement discontinu est homéomorphe à un sous-espace de l'espace de Cantor.
• Théorème de Radó : toute surface de Riemann connexe est à base dénombrable.