Bijection réciproque

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En mathématiques, la bijection réciproque d'une bijection ƒ est l'application qui associe à chaque élément de l'ensemble d'arrivée son unique antécédent par ƒ. On l'appelle parfois l'application inverse de ƒ (voir Inverse (homonymie) Page d'aide sur l'homonymie).

Exemple[modifier | modifier le code]

On considère[1] l'application ƒ de R vers R définie par :

ƒ(x)=x3.

Pour chaque réel y, il y a un et un seul réel x tel que

y = x3 = ƒ(x),

ainsi pour y = 8, le seul x convenable est 2, en revanche, pour y = –27 c'est –3. En termes mathématiques, on dit que x est l'unique antécédent de y et que ƒ est une bijection.

On peut alors considérer l'application qui envoie y sur son antécédent, qu'on appelle dans cet exemple la racine cubique de y : c'est elle qu'on nomme la « réciproque » de la bijection ƒ.

Si on tente d'effectuer la même construction pour la racine carrée et qu'on considère l'application g de R vers R définie par :

g(x) = x2,

les choses ne se passent pas si simplement. En effet pour certaines valeurs de y il y a deux valeurs de x tels que g(x) = y ; ainsi, pour y = 4, on peut choisir x = 2 mais aussi x = –2, puisque 22 = 4 mais aussi (–2)2 = 4. À l'inverse, pour d'autres choix de y, aucun x ne convient ; ainsi pour y = –1, l'équation x2 = –1 n'a aucune solution réelle. En termes mathématiques, on dit que g n'est ni injective ni surjective. Dans cet exemple, les définitions qui suivent ne permettent pas de parler de « bijection réciproque » (ni même d'« application réciproque ») de g.

Résultats généraux[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

La réciproque de la bijection ƒ de X vers Y, est la fonction ƒ−1 qui de Y retourne vers X.

Si ƒ est une bijection d'un ensemble X vers un ensemble Y, cela veut dire (par définition des bijections) que tout élément y de Y possède un antécédent et un seul par ƒ. On peut donc définir une application g allant de Y vers X, qui à y associe son unique antécédent, c'est-à-dire que

ƒ(g(y)) = y.

L'application g est une bijection, appelée bijection réciproque de ƒ.

De façon plus générale, et en utilisant les notations fonctionnelles, si ƒ est une application d'un ensemble X vers un ensemble Y et s'il existe une application g de Y vers X telle que :

 g \circ f = \operatorname{Id}_\mathrm{X} et  f \circ g = \operatorname{Id}_\mathrm{Y},

alors ƒ et g sont des bijections, et g est la bijection réciproque de ƒ.

La bijection réciproque de ƒ est souvent notée ƒ−1, en prenant garde à la confusion possible[2] avec la notation des exposants négatifs, pour laquelle on a x−1 = 1/x.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Réciproque de la réciproque[modifier | modifier le code]

La double propriété :

 f^{-1} \circ f = \operatorname{Id}_\mathrm{X} et  f \circ f^{-1} = \operatorname{Id}_\mathrm{Y}

montre que ƒ est aussi la bijection réciproque de ƒ−1, c'est-à-dire que

\left(f^{-1}\right)^{-1} = f.

Réciproque d'une composée[modifier | modifier le code]

L'inverse de g ∘ ƒ est ƒ−1g−1

La réciproque de la composée de deux bijections est donnée par la formule

(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.

On peut remarquer que l'ordre de ƒ et g a été inversé ; pour « défaire » ƒ suivi de g, il faut d'abord « défaire » g puis « défaire » ƒ.

Involution[modifier | modifier le code]

Certaines bijections de E vers E sont leur propre réciproque, c'est le cas par exemple de l'application inverse


\begin{matrix}
f: & \R^* & \rightarrow & \mathbb R^* \\
  & x & \mapsto & \frac 1x
\end{matrix}

ou de toute symétrie orthogonale dans le plan.

De telles applications sont dites involutives.

Réciproque d'une fonction numérique[modifier | modifier le code]

Existence[modifier | modifier le code]

Le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire, le théorème de la bijection, assurent que toute application continue strictement monotone sur un intervalle I détermine un bijection de I sur ƒ(I) = J et que J est aussi un intervalle. Cela signifie qu'une telle fonction possède une application réciproque définie sur J à valeurs dans I.

Cette propriété permet la création de nouvelles fonctions définies comme application réciproque de fonctions usuelles.

Exemples[modifier | modifier le code]

Fonction ƒ(x) Départ et arrivée Fonction réciproque Départ et arrivée Notes
f(x)=x^n  [0,+\infty[ \to [0,+\infty[ f^{-1}(x)=\sqrt[n]x  [0,+\infty[ \to [0,+\infty[ n entier naturel non nul
f(x)= e^x \R \to ]0,+ \infty[ f^{-1}(x) = \ln(x) ]0,+ \infty[\to \R
f(x)= a^x \R \to ]0,+ \infty[ f^{-1}(x) = \log_a(x) ]0,+ \infty[\to \R a réel strictement positif
f(x)=x^{\alpha}  ]0,+\infty[ \to ]0,+\infty[ f^{-1}(x)=x^{1/\alpha}  ]0,+\infty[ \to ]0,+\infty[ \alpha réel non nul
f(x)= \sin(x) [-\pi/2,\pi/2] \to [-1,1] f^{-1}(x) = \arcsin(x) [-1,1] \to [-\pi/2,\pi/2]
f(x)= \cos(x) [0,\pi] \to [-1,1] f^{-1}(x) = \arccos(x) [-1,1] \to [0,\pi]
f(x)= \tan(x) ]-\pi/2,\pi/2[ \to \R f^{-1}(x) = \arctan(x) \R \to ]-\pi/2,\pi/2[

À l'aide de ces fonctions, la recherche de l'application réciproque consiste à résoudre l'équation ƒ(x) = y, d'inconnue x :

La fonction  f \colon x \mapsto x^2+3 est une bijection de ]–∞, 0] sur [3, +∞[ et possède une application réciproque que l'on cherche à déterminer en résolvant, pour y dans [3, +∞[, l'équation x2 + 3 = y, ou encore x2 = y – 3. Puisque y ≥ 3, cette équation possède deux solutions dont une seule appartenant à l'intervalle ]–∞, 0] : x = –y – 3. Donc la réciproque de ƒ est ƒ−1 définie par ƒ−1(y) = –y – 3.

Cette recherche peut se révéler infructueuse et nécessiter la création d'une fonction nouvelle. Ainsi, la fonction f:x\mapsto f(x)=xe^x est une bijection de [0, +∞[ vers [0, +∞[ ; l'équation correspondante y= xe^x n'a pas de solution exprimable à l'aide des fonctions usuelles, ce qui oblige, pour exprimer x = ƒ−1(y), à définir une nouvelle fonction, la fonction W de Lambert.

Graphe[modifier | modifier le code]

Courbes d'équations y = ƒ(x) et y = ƒ−1(x). la droite en pointillés a pour équation y = x

Lorsque deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre, alors leurs représentations graphiques dans un plan muni d'un repère orthonormal sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite (d) d'équation y = x (appelée aussi première bissectrice).

En effet, si M(x, y) est un point du graphe de ƒ, alors y = ƒ(x) donc x = ƒ−1(y) donc M'(y, x) est un point du graphe de ƒ−1. Or le point M'(y, x) est le symétrique du point M(x, y) par rapport à la droite (d), pour les deux raisons suivantes :

Le milieu du segment [M, M'] est sur la droite (d), et d'autre part, le vecteur \overrightarrow{\mathrm{MM}'} est orthogonal au vecteur de coordonnées (1, 1), qui est un vecteur directeur de la (d) (leur produit scalaire canonique est nul).

On sait donc que s(M) est un point du graphe de ƒ−1. Un raisonnement analogue prouve que si M est un point du graphe de ƒ−1, alors s(M) est un point du graphe de ƒ.

Continuité[modifier | modifier le code]

En général, la réciproque d'une fonction continue n'est pas continue mais la réciproque d'une fonction continue sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J est une fonction continue sur J. On trouve une démonstration dans l'article Théorème d'inversion locale.

Dérivabilité[modifier | modifier le code]

Si ƒ est une fonction continue sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J et si ƒ−1 est sa réciproque, la fonction ƒ−1 est dérivable en tout point b tant que ƒ admet en ƒ−1(b) une dérivée non nulle.

La dérivée en b de ƒ−1 est alors

\frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}.

Un moyen simple de comprendre, mais non de démontrer, ce phénomène est d'utiliser les notations différentielles et de remarquer que :

\frac{{\rm d}x}{{\rm d}y}=\frac1{{\rm d}y/{\rm d}x} \text{.}

On trouve une démonstration dans l'article Opérations sur les dérivées.

Recherche graphique ou numérique d'une réciproque[modifier | modifier le code]

Il n'est pas toujours possible de déterminer la réciproque de manière analytique : on sait calculer ƒ(x), mais on ne sait pas calculer ƒ−1(y). Il faut alors utiliser une méthode graphique ou numérique.

La méthode graphique consiste à tracer la courbe représentative y = ƒ(x). On trace la droite d'ordonnée y concernée, on recherche l'intersection de cette droite avec la courbe, et l'on trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par cette intersection. Le point d'intersection de cette droite avec l'axe des abscisses donne la valeur x recherchée. C'est le principe d'un grand nombre d'abaques.

Numériquement, rechercher ƒ−1(y) revient à rechercher les racines de la fonction

g(x) = ƒ(x) – y.
Articles détaillés : Algorithme de Newton et Dichotomie.

Si l'on sait que le domaine de recherche — intervalle des x possibles — est « restreint » et que la fonction est dérivable sur cet intervalle, on peut linéariser la fonction, c'est-à-dire la remplacer par une fonction affine obtenue par un développement limité

ƒ(x) ≈ ƒ(x0) + ƒ'(x0)(xx0)

On a ainsi une approximation de la solution, si ƒ'(x0) ≠ 0 :

ƒ−1(y) ≈ (y – ƒ(x0))ƒ'(x0).

C'est la démarche de l'algorithme de Newton, mais avec une seule itération.

On peut également utiliser une fonction d'approximation plus complexe mais néanmoins inversible.

Article détaillé : Théorie de l'approximation.

Exemple de réciproque de transformation du plan[modifier | modifier le code]

Les transformations du plans sont les applications bijectives du plan, il est donc intéressant d'en connaitre les réciproques, du moins pour les transformations de références.

Transformation Transformation réciproque
Translation de vecteur \vec u Translation de vecteur - \vec  u
Symétrie de centre O ou d'axe (d) Symétrie de centre O ou d'axe (d)
Homothétie de centre C et de rapport k Homothétie de centre C et de rapport 1/k
Rotation de centre C et d'angle θ Rotation de centre C et d'angle –θ
Similitude directe de centre C, de rapport k et d'angle θ Similitude directe de centre C, de rapport 1/k et d'angle –θ
Similitude indirecte de centre C, de rapport k et d'axe (d) ; Similitude indirecte de centre C, de rapport 1/k et d'axe (d) ;
symétrie glissée d'axe (d) et de vecteur \vec u symétrie glissée d'axe (d) et de vecteur - \vec u
affinité d'axe (d) de direction (d') et de rapport k affinité d'axe (d) de direction (d') et de rapport 1/k

Réciproques en algèbre[modifier | modifier le code]

En algèbre linéaire un morphisme de groupe, d'anneau, de corps, d'espace vectoriel bijectif admet une application réciproque qui est aussi un morphisme de même type. L'application et sa réciproque sont appelés des isomorphismes.

Dans le cas d'une application ƒ linéaire d'un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F, tous deux de dimension finie et munis de bases, ƒ est bijective si et seulement si sa matrice M dans les bases fixées est une matrice carrée inversible. La matrice dans ces bases de la réciproque de ƒ est alors la matrice inverse de M, notée M−1.

Quelques concepts apparentés[modifier | modifier le code]

Lorsque l'application ƒ n'est pas bijective, il est possible de définir une relation réciproque définie sur f(\mathrm{X}) \subset \mathrm{Y} qui à tout élément de ƒ(X) associe ses antécédents par ƒ. Si ƒ n'est pas injective, la relation créée n'est pas une application, on parle alors de réciproque multiforme. Si ƒ est injective, la relation ainsi créée est bien l'application réciproque de ƒ restreinte à l'ensemble d'arrivée ƒ(X).

Pour certaines fonctions ƒ non surjectives, il existe une fonction g telle que g \circ f = \operatorname{Id}_\mathrm{E}. Il suffit pour cela que ƒ soit injective. On dit alors que g est un inverse à gauche pour ƒ.

Pour certaines fonctions ƒ non injectives, il existe une fonction g telle que f \circ g = \operatorname{Id}_\mathrm{F}. Il suffit pour cela que ƒ soit surjective (en admettant l'axiome du choix).

On définit plus généralement la réciproque d'une multifonction quelconque ou, ce qui revient au même, la réciproque d'une relation binaire.

Théorème d'inversion locale[modifier | modifier le code]

Le théorème d'inversion locale précise les conditions d'existence locale d'une application réciproque pour une fonction ƒ. C'est une généralisation d'un théorème simple sur les fonctions de la variable réelle.

Si ƒ est définie sur un intervalle I et si a est un élément de I, si ƒ possède en a une dérivée continue non nulle
alors il existe un intervalle Ia autour de a, un intervalle Jƒ(a) autour de ƒ(a) et une fonction ƒ−1 définie sur Jƒ(a) qui soit l'application réciproque de la restriction de ƒ à Ia.
Cette application réciproque est aussi dérivable en ƒ(a).

Le théorème d'inversion locale généralise cette propriété à des fonctions définies sur des espaces vectoriels réels de dimension finie. La condition « ƒ'(a) non nulle » est alors remplacée par « le jacobien de ƒ en a est non nul ». De plus, si ƒ est de classe Ck, l'application réciproque l'est aussi.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. L'exemple de la racine cubique est celui choisi par Jacques Dixmier dans son Cours de mathématiques du 1er cycle, Gauthier-Villars, 1967, p. 9
  2. Ce choix de notation s'explique parce que la loi de composition \circ a beaucoup de propriétés communes avec une multiplication. C'est cependant un abus de notation assez grave pour que les logiciels de calcul formel séparent ces deux notions ; ainsi, Maple note l'inverse f^(-1) et la bijection réciproque f@@(–1).