Voisinage (mathématiques)

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En mathématiques, la notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité, qui s'entend ici comme la continuité en tout point. En revanche, pour les propriétés locales comme la continuité en un point ou la limite, le formalisme des voisinages est souvent plus simple.

Voisinage dans un espace topologique

Dans un espace topologique, un voisinage d'un point est un sous-ensemble qui contient un ouvert contenant ce point. Soit $E$ un espace topologique et $a$ un point de $E$. Notons alors $\scriptstyle\mathcal V(a)$ l'ensemble des voisinages de $a$. Nous pouvons alors remarquer que :

1. $A\in \mathcal V(a) ~\land~ A\subset B\subset E ~\Rightarrow~ B\in \mathcal V(a)$
2. $A,B\in \mathcal V(a) ~\Rightarrow~ A\cap B\in \mathcal V(a)$
3. $\mathcal V(a)\ne\varnothing$ (car $E\in \mathcal V(a)$)
4. $\varnothing\notin \mathcal V(a)$

Nous venons de démontrer que les voisinages de $a$ forment un filtre sur $E$ pour l'inclusion. On peut de plus remarquer que (comme un ouvert est voisinage de chacun de ses points) :

$A \in \mathcal V(a)\Rightarrow\exist B\in\mathcal V(a), \forall b\in B, A\in\mathcal V(b).$

Topologie définie à partir des voisinages

La section précédente montre que les axiomes de la topologie définissent les voisinages en chaque point. On peut alors définir axiomatiquement l'ensemble des voisinages. Cette définition nous permet de définir une topologie.

Soit $E$ un ensemble. Nous dirons qu'une application $\scriptstyle\mathcal V\, :\, E \,\to\, \scriptstyle\mathcal P(\mathcal P(E))$ forme un ensemble de voisinages si :

1. $A\in \mathcal V(a) ~\land~ A\subset B\subset E ~\Rightarrow~ B\in \mathcal V(a)$

2. $A,B\in \mathcal V(a) ~\Rightarrow~ A\cap B\in \mathcal V(a)$

3. $\mathcal V(a)\ne\varnothing$

4'. $A\in\mathcal V(a)~\Rightarrow~a\in A$

5. $A \in \mathcal V(a)\Rightarrow\exist B\in\mathcal V(a), \forall b\in B, A\in\mathcal V(b).$

Il existe alors une et une seule topologie sur E telle que pour tout élément x de E, $\scriptstyle\mathcal V$(x) soit l'ensemble des voisinages de x pour cette topologie. L'unicité est immédiate : les ouverts d'une telle topologie sont nécessairement les parties O de E telles que pour tout élément x de O, O appartienne à $\scriptstyle\mathcal V$(x). Pour l'existence, on vérifie facilement que ces parties O forment une topologie, et le seul point délicat est de vérifier que tout élément A d'un $\scriptstyle\mathcal V$(x) est un voisinage de x pour cette topologie.

Démonstration

Soit O l'ensemble des éléments a de E tels que A appartienne à $\scriptstyle\mathcal V$(a). Clairement, O est une partie de A contenant x . Il reste à montrer que O est ouvert.

Soit a un point de O. Il existe un élément B de $\scriptstyle\mathcal V$(a) tel que pour tout élément b de B, A appartienne à $\scriptstyle\mathcal V$(b), autrement dit tel B soit inclus dans O. On déduit alors de l'axiome 1 que O est, lui aussi, élément de $\scriptstyle\mathcal V$(a), ce qui conclut.

Base de voisinages

L'ensemble des voisinages d'un point est vaste. L'analyse des filtres pour l'inclusion nous indique qu'il nous suffit de connaître une base de filtre pour définir cet ensemble de voisinages. La définition, déduite directement du concept de base de filtre, est donc la suivante : Une base de voisinages d'un point $a$ d'un ensemble $E$ est une famille non vide $\scriptstyle\mathcal W(a)$ de sous-ensembles de $E$ contenant tous $a$ et telle que toute intersection de deux éléments de $\scriptstyle\mathcal W(a)$ contienne un élément de $\scriptstyle\mathcal W(a)$.

Un voisinage de $a$ est alors tout sous-ensemble de E contenant un élément de $\scriptstyle\mathcal W(a)$.

Limite et continuité en un point

Le formalisme des voisinages permet d'exprimer simplement les notions de limite et de continuité en un point.

Limite

Soit $E$ un espace topologique et $E'$ un sous espace de $E$. Soit $f$ une fonction de $E'$ dans $F$ un espace topologique. Soit $a$ un point de l'adhérence $\scriptstyle\overline{E'}$ de $E'$, la fonction $f$ admet $l$ comme limite au point $a$ si et seulement si l'image réciproque d'un voisinage de $l$ est un voisinage de $a$ dans $\scriptstyle\overline{E'}$. L'expression de la limite, notée $\lim_{x \to a}f(x)=l$, prend alors la forme suivante :

$\forall V \in \mathcal V_F(l) \quad \exist W \in \mathcal V_E(a)\quad \forall x \in W\;\cap\; E' \quad f(x)\in V$

Continuité

Soit $f$ une fonction d'un espace topologique $E$ dans $F$ et soit $a$ un point élément du domaine de définition de $f$. La fonction $f$ est continue au point $a$ si et seulement si l'image réciproque d'un voisinage de $f(a)$ est un voisinage de $a$. L'expression de la continuité au point $a$ prend alors la forme suivante :

$\forall V \in \mathcal V(f(a)) \quad \exist W \in \mathcal V(a)\quad \forall x \in W\quad f(x)\in V\;$

Exemples

Le cas des entiers positifs

Il est possible de compléter $\N$ avec la valeur $\scriptstyle+\infty$. Si on associe à cet espace le filtre de Fréchet, contenant tous les complémentaires des ensembles finis qui contiennent la valeur $\scriptstyle+\infty$. Alors $\scriptstyle+\infty$ possède un ensemble de voisinages. On peut alors définir la limite d'une suite $(u_n)$ à valeur dans ℝ ou ℂ. Cette suite converge vers la valeur $l$ quand $n$ tend vers $\scriptstyle+\infty$ si et seulement si :

$\forall \epsilon > 0 \quad \exist N \in \mathbb N \quad \forall n > N \quad |u_n- l|<\epsilon \;$

Le cas des nombres réels

Dans l'ensemble des réels, on définit les voisinages d'un réel a de la manière suivante:

• $V$ est un voisinage de $a$ si et seulement s'il existe un réel strictement positif $\mu$ tel que $\scriptstyle]a - \mu; a + \mu[\, \subset V$. Les intervalles cités forment une base de filtre pour les voisinages du point $a$. C'est un cas particulier des espaces métriques traités en exemple et démontré à la suite de cette section.

Exprimons alors les notions de limite et de continuité pour une fonction $f$ définie sur $E$ un sous ensemble des nombres réels dans $F$ un espace topologique.

Soit $a$ un élément de l'adhérence de $E$ et $l$ un élément de $F$. Dire que la fonction $f$ a pour limite $l$ au point $a$, c'est dire que pour tout voisinage $\scriptstyle\mathcal V(l)$ il existe $\mu>0$ tel que l'image de l'intersection de l'intervalle $]a - \mu; a + \mu[$ avec $E$ est incluse dans $\scriptstyle\mathcal V(l)$. Ou encore :

$\forall V \in \mathcal V(l) \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in ]a - \mu; a + \mu[\;\cap\; E \quad f(x)\in V\quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a}f(x)=l\;$

La continuité en $a$ si $a$ est un élément du domaine de définition de $f$ s'exprime de la manière suivante:

$\forall V \in \mathcal V(f(a)) \quad \exist \epsilon > 0\quad \forall x \in ]a - \mu; a + \mu[\;\cap\; E \quad f(x)\in V\;$

Dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle, on obtient :

$\forall \epsilon > 0 \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in E \quad |x-a|<\mu \Rightarrow |f(x)- l|<\epsilon \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a}f(x)=l\;$

Pour la continuité on a :

$\forall \epsilon > 0 \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in E \quad |x-a|<\mu \Rightarrow |f(x)- f(a)|<\epsilon \;$

Extension de la droite réelle

Il est possible d'étendre la droite réelle avec les valeurs $\scriptstyle+\infty$ et $\scriptstyle-\infty$. On définit alors leurs voisinages :

• V est un voisinage de $\scriptstyle+\infty$ si et seulement s'il existe un réel M tel que $\scriptstyle]M; + \infty[\, \subset V$
• V est un voisinage de $\scriptstyle-\infty$ si et seulement s'il existe un réel M tel que $\scriptstyle]-\infty; M [\, \subset V$

Remarque : la droite réelle étendue avec les voisinages précédents forme bien une topologie. En revanche cette topologie n'est pas déduite de la distance usuelle. En effet, les points limites de la droite réelle n'ont pas de distance vis-à-vis des autres points.

Dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle, on obtient :

$\forall \epsilon > 0 \quad \exist M \in \mathbb R \quad \forall x \in E \quad x>M \Rightarrow |f(x)- l|<\epsilon \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to +\infty}f(x)=l\;$

$\forall \epsilon > 0 \quad \exist M \in \mathbb R \quad \forall x \in E \quad x<M \Rightarrow |f(x)- l|<\epsilon \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x \to -\infty}f(x)=l\;$

Espace métrique

Tout espace métrique est muni d'une topologie déduite. En effet, soit $E$ un espace métrique, soit $a$ un point de $E$. L'ensemble des boules ouvertes de centre $a$ et de rayon n'importe quel réel strictement positif forme une base de filtre pour l'inclusion. Considérons alors $\scriptstyle\mathcal V(a)$ le filtre engendré par cette base de filtre. Montrons alors que $\scriptstyle\mathcal V(a)$ forme un ensemble de voisinages. Par construction un ensemble $V$ est élément de $\scriptstyle\mathcal V(a)$ si et seulement s'il existe une boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ strictement positif, contenue dans $V$.

$B_r(a) = B(a;r) = \{ x \in X \mid d(x,a) < r \}$

• $\scriptstyle\mathcal V(a)$ est un filtre pour l'inclusion par construction.
• Tout élément $V$ de $\scriptstyle\mathcal V(a)$ contient $a$ car il contient une boule centrée sur $a$ et de rayon strictement positif.
• Enfin soit $V$ un élément de $\scriptstyle\mathcal V(a)$. Alors il existe un réel $r$ tel que la boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ soit incluse dans $V$. Soit alors $b$ un élément de cette boule. $b$ est à une distante $d$ de $a$ avec $d<r$ par définition de la boule. L'inégalité triangulaire nous garantit que la boule ouverte de centre $b$ et de rayon $r-d$ est incluse dans la boule de centre $a$ et de rayon $r$.

Nous venons de démontrer que les axiomes des ensembles de voisinages sont bien satisfaits, ce qui montre que l'application de $E$ dans $\scriptstyle\mathcal P(\mathcal P(E))$ définit bien un ensemble de voisinages. Les ouverts sont alors les ensembles $O$ tel que pour tout point $a$ de $O$ il existe une boule ouverte de centre $a$ incluse dans $O$.

Exprimons alors les notions de limite et de continuité pour une fonction $f$ définie sur $E$ dans $F$ un espace métrique. On note $d_E$ (resp. $d_F$) l'application distance dans $E$ (resp. dans $F$).

Soit $a$ un élément de l'adhérence de $E$ et $l$ un élément de $F$. Dire que la fonction $f$ a pour limite $l$ au point $a$, c'est dire que pour tout $\epsilon>0$, il existe $\mu>0$, tel que l'intersection l'image de la boule ouverte de centre $a$ et de rayon $\mu$ avec $E$, est incluse dans la boule ouverte de centre $l$ et de rayon $\epsilon$. Ou encore :

$\forall \epsilon >0 \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in E \quad d_E(x,a)<\mu \quad \Rightarrow \quad d_F(f(x),l)<\epsilon\quad\Leftrightarrow \quad \lim_{x \to a}f(x)=l\;$

La continuité en un élément $a$ du domaine de définition de $f$ s'exprime de la manière suivante :

$\forall \epsilon >0 \quad \exist \mu > 0\quad \forall x \in E \quad d_E(x,a)<\mu \quad \Rightarrow \quad d_F(f(x),f(a))<\epsilon.\;$

L'ensemble $V$ est un voisinage de l'ensemble $S$ si et seulement si $V$ est un voisinage de tous les points de $S$.

$V$ est appelé voisinage uniforme de l'ensemble $S$ s'il existe un rayon $r$ strictement positif tel que, pour tout $a$ de $S$, la boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ est incluse dans $V$.

Exemple : dans l'ensemble des réels muni de la distance issue de la valeur absolue, l'ensemble $V$ défini par :

$V:=\bigcup_{n \in\N} B\big(n\,;\,\frac1{n + 1}\big),$

est un voisinage de l'ensemble ℕ des entiers naturels, mais n'est pas un voisinage uniforme de celui-ci.

Topologie faible

Il existe des topologies qui ne sont pas associées à des espaces métriques. La topologie de la convergence simple en est un exemple.

Voir aussi

Bibliographie

Laurent Schwartz, Topologie générale et analyse fonctionnelle, édition Hermann

Articles connexes

Soit A une partie d'un ensemble topologique.

• L'ensemble des points dont A est un voisinage est appelé l'intérieur de A.
• L'ensemble des points dont le voisinage rencontre A est appelé l'adhérence de A.

Espace à base dénombrable de voisinages