Espace pseudométrique

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En mathématiques, un espace pseudométrique est un espace muni d'un écart. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique. Lorsqu'une topologie est définie par une famille d'écarts, l'espace est appelé espace uniforme.

Remarque : en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression espace semimétrique est utilisée comme synonyme d'espace pseudométrique, parce que toute semi-norme induit un écart. L'expression espace semimétrique peut par ailleurs avoir un sens différent.

Définition[modifier | modifier le code]

Un espace pseudométrique \left(X,\mathrm d\right) est la donnée d'un ensemble X et d'une application positive à valeurs réelles \mathrm d : X \times X \longrightarrow \mathbb{R}, appelée fonction pseudométrique (ou écart), qui vérifie les trois relations suivantes :

À la différence d'un espace métrique, les points d'un espace pseudométrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir \mathrm d(x,y)=0 pour des valeurs distinctes x\ne y.

Exemples[modifier | modifier le code]

Sur l'espace \mathcal{F}\left(X\right) des fonctions à valeurs réelles f : X\to\mathbb{R}, en choisissant un point x_0\in X, on peut définir un écart par :

\forall f,g \in \mathcal{F}\left(X\right), \quad \mathrm d\left(f,g\right) = | f\left(x_0\right)-g\left(x_0\right)|\;

Plus généralement, sur un espace vectoriel V, toute semi-norme p induit un écart d en posant :

\mathrm d\left(x,y\right) = p\left(x-y\right).

Réciproquement, tout écart invariant par translation et homogène induit une seminorme.

Propriétés topologiques[modifier | modifier le code]

La topologie pseudométrique associée à un écart p est induite par l'ensemble des boules ouvertes :

B_r \left( p \right) = \{ x\in X\mid \mathrm d \left(p,x\right)<r \},

qui forme une base de la topologie[1]. Un espace topologique est dit pseudométrisable s'il existe un écart dont la topologie pseudométrique associée coïncide avec celle de l'espace.

Un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudométrisable et T1.

Identification métrique[modifier | modifier le code]

En quotientant un espace pseudométrique par la relation d'équivalence d'annulation de l'écart, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

x\sim y\Leftrightarrow\mathrm d\left(x,y\right)=0,

et on obtient une distance d^* sur X^*=X/\sim~ en posant :

\mathrm d^{*} \left( \left[x\right],\left[y\right] \right) = \mathrm d\left(x,y\right).

La topologie de l'espace métrique (X^*,d^*) est la topologie quotient de celle de (X,d).

Note et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pseudometric space » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Pseudometric topology de PlanetMath

Bibliographie[modifier | modifier le code]