Espace séquentiel

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En mathématiques, un espace séquentiel est un espace topologique dont la topologie est définie par l'ensemble de ses suites convergentes. C'est le cas en particulier pour tout espace à base dénombrable.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit X un espace topologique.

  • Un sous-ensemble U de X est dit « séquentiellement ouvert » si toute suite (xn) de X qui converge vers un point de U « appartient à U à partir d'un certain rang »[1].
  • Un sous-ensemble F de X est dit « séquentiellement fermé » si la convergence d'une suite (xn) de F vers x implique que x appartient à F.

Le complémentaire d'un sous-ensemble séquentiellement fermé est séquentiellement ouvert et vice-versa. Tout ouvert (resp. fermé) de X est séquentiellement ouvert (resp. fermé) mais les réciproques sont fausses en général, ce qui motive la définition suivante.

L'espace X est dit séquentiel s'il satisfaisait l'une des conditions équivalentes suivantes :

  • tout sous-ensemble séquentiellement ouvert de X est ouvert ;
  • tout sous-ensemble séquentiellement fermé de X est fermé.

Historique[modifier | modifier le code]

Dans un article fondateur[2] sur les algèbres qui portent son nom, von Neumann soulignait que l'espace ℓ2(ℕ*) muni de la topologie faible n'est pas séquentiel : l'ensemble[3] des em + men pour 0 < m < n n'est pas fermé (0 lui est adhérent) bien qu'il soit séquentiellement fermé (car ses suites convergentes sont bornées en norme donc constantes à partir d'un certain rang).

Les espaces « qui peuvent être définis complètement ne connaissant que leurs suites convergentes » ont fait dans les années 1960 l'objet de nombreuses études, que S. P. Franklin a synthétisées et généralisées[4],[5].

Les espaces séquentiels répondent un peu à cette spécification informelle et les espaces de Fréchet-Urysohn un peu mieux, à condition de ne pas la surinterpréter : par exemple sur l'espace ℓ1, la topologie forte est strictement plus fine que la faible mais les suites convergentes sont les mêmes.

Définitions équivalentes[modifier | modifier le code]

Soi X un espace topologique.

Les sous-ensembles séquentiellement ouverts forment une nouvelle topologie sur X ; l'espace est séquentiel si et seulement si sa « topologie séquentielle » (plus fine a priori) coïncide avec sa topologie originelle[6].

Moins trivialement, les propriétés suivantes sont équivalentes[6] :

  • X est séquentiel ;
  • X est le quotient d'un espace à bases dénombrables de voisinages ;
  • X est le quotient d'un espace métrique ;
  • pour tout espace topologique Y et toute application f : XY, f est continue si (et seulement si) elle est séquentiellement continue en tout point x de X, c'est-à-dire que pour toute suite de points (xn) convergeant vers x, la suite (f(xn)) converge vers f(x).

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

Pour un espace T1 séquentiel, la compacité séquentielle équivaut à la compacité dénombrable.

Tout espace séquentiel est dénombrablement engendré, ou d'étroitesse dénombrable[7] (en anglais : countably tight) – c'est-à-dire que tout point adhérent à une partie est adhérent à une sous-partie au plus dénombrable – mais la réciproque est fausse : il existe même des espaces séparés dénombrables non séquentiels[8],[9] et sous l'hypothèse ♢ (en), il existe même des compacts dénombrablement étroits mais non séquentiels[10]. Cependant, sous l'hypothèse du forcing propre (en), il n'en existe pas[11].

Fermeture séquentielle[modifier | modifier le code]

Soit un sous-ensemble A\subset X d'un espace X, la fermeture séquentielle \left[A\right]_{\mbox {seq}} est l'ensemble :

\left[A\right]_{\mbox {seq}}= \{x\in X : \{a_n\}\to x, a_n\in A \}

c'est-à-dire l'ensemble de tous les points x\in X pour lesquels il existe une suite de A qui converge vers x. (C'est un sous-ensemble de l'adhérence ordinaire \bar A.)

Une partie est donc séquentiellement fermée si et seulement si elle est égale à sa fermeture séquentielle.

L'application

\left[ \, \cdot \, \right]_{\mbox {seq}} : A\mapsto \left[A\right]_{\mbox {seq}}

est appelée opérateur de fermeture séquentielle.

Elle partage des propriétés avec l'adhérence ordinaire, notamment :

  • l'ensemble vide est séquentiellement fermé :
    \left[\varnothing \right]_{\mbox {seq}} = \varnothing
  • toute partie est incluse dans sa fermeture séquentielle :
    \forall A\subset X,~A \subset \left[A\right]_{\mbox {seq}}
  • la fermeture séquentielle commute avec l'union :
    \forall A,B\subset X,~\left[A\cup B\right]_{\mbox {seq}} = \left[A\right]_{\mbox {seq}} \cup \left[B\right]_{\mbox {seq}}.

Cependant, contrairement à l'adhérence ordinaire et même si X est séquentiel, l'opérateur de fermeture séquentielle n'est généralement pas un opérateur de clôture mais seulement de préclôture car il n'est pas idempotent, c'est-à-dire qu'il peut exister une partie A de X telle que :

\left[ \left[A\right]_{\mbox {seq}} \right]_{\mbox {seq}}\ne \left[A\right]_{\mbox {seq}}.

Autrement dit : la « fermeture séquentielle » d'une partie A de X n'est pas toujours séquentiellement fermée.

La plus petite partie séquentiellement fermée de X contenant A (l'adhérence de A pour la « topologie séquentielle » définie ci-dessus) s'obtient en itérant cette construction par récurrence transfinie[12] :

A^{(0)}=A,~A^{(\alpha+1)}=\left[A^{(\alpha)}\right]_{\mbox {seq}}\text{ et si }\alpha\text{ est un ordinal successeur, }A^{(\alpha)}=\cup_{\beta<\alpha}A^{(\beta)}.

On appelle ordre séquentiel de la partie A le plus petit ordinal α pour lequel A(α) est séquentiellement fermé et ordre séquentiel de l'espace X la borne supérieure des ordres séquentiels de ses parties. Ces ordres sont au plus égaux au premier ordinal non dénombrable.

Si X est séquentiel on a donc :

\overline A=A^{(\omega_1)}.

Espace de Fréchet-Urysohn[modifier | modifier le code]

Les espaces de Fréchet-Urysohn[13] – d'après Maurice Fréchet et Pavel Urysohn – sont ceux pour lesquels la fermeture séquentielle coïncide avec la fermeture ordinaire, c'est-à-dire :

\forall A\subset X,~\left[A\right]_{\mbox {seq}} = \overline{A}.

Autrement dit : ce sont les espaces séquentiels dont l'ordre séquentiel est égal à 1.

Un espace est de Fréchet-Urysohn si et seulement si chacun de ses sous-espaces est séquentiel.

Également, un espace X est de Fréchet-Urysohn si et seulement si, pour tout espace topologique Y, toute application f : XY et tout point x de X, f est continue au point x si (et seulement si) elle est séquentiellement continue en ce point[14].

Exemples.

  • Tout espace à bases dénombrables de voisinages est de Fréchet-Urysohn.
  • Un exemple d'espace de Fréchet-Urysohn qui n'est pas à bases dénombrables de voisinages est le bouquet de cercles ℝ/ℤ.
  • Le prototype d'espace séquentiel qui n'est pas de Fréchet-Urysohn est l'espace d'Arens[15]. Plus précisément : un espace séquentiel est de Fréchet-Urysohn si et seulement s'il ne contient pas de copie de cet espace[8] et on peut l'utiliser pour construire, pour tout ordinal α ≤ ω1, un espace séquentiel dont l'ordre séquentiel est égal à α[16].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. C'est-à-dire qu'il existe N tel que xn est dans U pour tout nN.
  2. (de) J. von Neumann, « Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren », Math. Ann., vol. 102, no 1,‎ 1929, p. 370-427 (lire en ligne), p. 380
  3. (en) Paul R. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, coll. « GTM » (no 19),‎ 1982, 2e éd. (ISBN 978-0-38790685-0, lire en ligne), p. 185 donne, comme étape de solution de son problème 28 (montrer que la topologie faible de ℓ2 n'est pas métrisable), un exemple plus simple qu'il attribue à Allen Lowell Shields (en) : l'ensemble des n en, pour n > 0.
  4. (en) S. P. Franklin, « Spaces in Which Sequences Suffice », Fund. Math., vol. 57,‎ 1965, p. 107-115 (lire en ligne)
  5. (en) S. P. Franklin, « Spaces in Which Sequences Suffice II », Fund. Math., vol. 61,‎ 1967, p. 51-56 (lire en ligne)
  6. a et b (en) « Sequential spaces, II », sur Dan Ma's Topology Blog (tous les espaces y sont supposés séparés).
  7. (en) D. H. Fremlin, Measure Theory, vol. 4, Torres Fremlin,‎ 2000 (ISBN 978-0-95381294-3, lire en ligne), chap. 4A2 (« Appendix, § General topology »), p. 331
  8. a et b (en) « A note about the Arens’ space », sur Dan Ma's Topology Blog
  9. (en) « The difference between a sequential space and a space with countable tightness », sur MathOverflow
  10. (en) V. V. Fedorcuk, « Fully closed mappings and the consistency of some theorems of general topology with the axioms of set theory », Math. USSR, vol. 28,‎ 1976, p. 1-26
  11. (en) Zoltan Balogh (en), « On compact Hausdorff spaces of countable tightness », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 105, no 3,‎ 1989 (lire en ligne)
  12. (en) Alan Dow, « Sequential Order », dans M. Pearl Elliott, Open Problems in Topology, vol. II, Elsevier,‎ 2011 (ISBN 9780080475295, lire en ligne), p. 125-127
  13. Selon (en) Woo Chorl Hong, « Some necessary and sufficient conditions for a Fréchet-Urysohn space to be sequentially compact », Commun. Korean Math. Soc., vol. 24, no 1,‎ 2009, p. 145-152 (lire en ligne), ces espaces sont appelés
  14. (en) Martin Sleziak, « Characterization of Fréchet-Urysohn spaces using sequential continuity at a point », sur MathOverflow
  15. (en) A. V. Arkhangelskii et V. I. Ponomarev, Fundamentals of General Topology: Problems and Exercises, Springer,‎ 2001 (ISBN 978-1-40200308-0, lire en ligne), p. 59-60, exercice 113, iii
  16. (en) A. V. Arhangel'skiĭ et S. P. Franklin, « Ordinal invariants for topological spaces », Michigan Math. J., vol. 15, no 4,‎ 1968, p. 506 (lire en ligne)