Image réciproque

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L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application f : XY est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B :

f^{-1}(B) = \{x \in X~|~f(x)\in B\}~.

Dans le cas particulier où B se réduit à un singleton, l'image réciproque f^{-1}(\{y\}) du singleton \{y\} par la fonction f est appelé ensemble des antécédents de y par f.

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons l'application f : {1,2,3} → {a,b,c,d} définie par f(1) = a, f(2) = c, f(3) = d. L'image réciproque de {a, b} par f est f−1({a,b}) = {1}.

L'application « image réciproque »[modifier | modifier le code]

Avec cette définition, f−1 est l'application « image réciproque (par f) » , dont l'ensemble de définition est l'ensemble des parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette application sur les parties avec la bijection réciproque de f, également notée f−1, de Y dans X. Fort heureusement, l'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par cette bijection réciproque f−1. Pour éviter toute confusion, Birkhoff Mac Lane[1] parlent d'une « application d'ensembles » qu'ils notent f* au lieu de f−1.

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

  • Pour toutes parties B_1 et B_2 de Y,
f^{-1}\left(B_1 \cup B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2).
f^{-1}\left(B_1 \cap B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2).
  • Pour toute partie B de Y,
f(f^{-1}(B))=B\cap\mathrm{Im}(f)~
(une démonstration est proposée dans l'article Image directe).
En particulier si f est surjective alors f(f^{-1}(B))=B.
On peut même prouver que f et surjective si et seulement si pour toute partie B de Y on a f(f^{-1}(B))=B.
(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)
  • Pour toute partie A de X,
A\subset f^{-1}(f(A))
L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général si f n'est pas injective.
On peut même prouver que f et injective si et seulement si pour toute partie A de X on a f^{-1}(f(A))=A.
  • Pour toutes parties A et B de Y,
f^{-1}\left(A\backslash B\right)=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B)
  • Pour toute famille non vide \scriptstyle\left(B_i\right)_{i\in I} de parties de Y,
f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)= \bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i)
f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)= \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)
  • Si l'on considère de plus une application \scriptstyle g:Y\rightarrow Z, alors l'image réciproque d'une partie C de Z par la composée \scriptstyle g\circ f est :
(g\circ f)^{-1}\left(C\right)=f^{-1}(g^{-1}(C)).

Référence[modifier | modifier le code]