Image réciproque

L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application f : X → Y est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B :

$f^{-1}(B) = \{x \in X~|~f(x)\in B\}~.$

Exemples

• Considérons l'application f : {1,2,3} → {a,b,c,d} définie par f(1)=a, f(2)=c, f(3)=d. L'image réciproque de {a, b} par f est f^-1({a,b)}={1}.
• Considérons une application quelconque f : X → Y et y un élément de Y. L'image réciproque f^-1({y}) du singleton {y} par f est l'ensemble des antécédents par f de y.

L'application « image réciproque »

Avec cette définition, f^-1 est l'application « image réciproque (par f) » , dont l'ensemble de définition est l'ensemble des parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : Lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette application sur les parties avec la bijection réciproque de f, également notée f^-1, de Y dans X. Fort heureusement, l'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par cette bijection réciproque f^-1.

Propriétés élémentaires

• Pour toutes parties $B_1$ et $B_2$ de $Y$,

$f^{-1}\left(B_1 \cup B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$.

$f^{-1}\left(B_1 \cap B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$.

• Pour toute partie $B$ de $Y$,

$f(f^{-1}(B))=B\cap\mathrm{Im}(f)~$

(une démonstration est proposée dans l'article Image directe).

En particulier si $f$ est surjective alors $f(f^{-1}(B))=B$.

On peut même prouver que $f$ et surjective si et seulement si pour toute partie $B$ de $Y$ on a $f(f^{-1}(B))=B$.

(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)

• Pour toute partie $A$ de $X$,

$A\subset f^{-1}(f(A))$

L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général si $f$ n'est pas injective.

On peut même prouver que $f$ et injective si et seulement si pour toute partie $A$ de $X$ on a $f^{-1}(f(A))=A$.

• Pour toutes parties $A$ et $B$ de $Y$,

$f^{-1}\left(A\backslash B\right)=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B)$

• Pour toute famille non vide $\scriptstyle\left(B_i\right)_{i\in I}$ de parties de $Y$,

$f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)= \bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i)$

$f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)= \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)$

• Si l'on considère de plus une application $\scriptstyle g:Y\rightarrow Z$, alors l'image réciproque d'une partie $C$ de $Z$ par la composée $\scriptstyle g\circ f$ est :

$(g\circ f)^{-1}\left(C\right)=f^{-1}(g^{-1}(C)).$