Théorème de Bolzano-Weierstrass

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En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass.

Énoncé du théorème[modifier | modifier le code]

Un espace métrisable X est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si (et seulement si) toute suite d'éléments de X admet une valeur d'adhérence dans X ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de X.

Cet énoncé peut se décomposer en :

  • Deux scholies qui garantissent le « seulement si » :
  • L'énoncé proprement dit, le « si » :

Tout espace métrisable séquentiellement compact est compact.

(Un espace séquentiellement compact est un espace dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente.)

Démonstration[modifier | modifier le code]

Tout espace métrique X séquentiellement compact est évidemment précompact, c'est-à-dire que toute suite dans X admet une sous-suite de Cauchy ou, ce qui est équivalent : pour tout r > 0, X est recouvert par un nombre fini de boules de rayon r.

Pour en déduire qu'il est compact, il suffit d'utiliser les liens généraux entre diverses notions de compacité.

Une autre approche, plus spécifique, est d'utiliser le lemme suivant, qui équivaut à l'existence de nombres de Lebesgue (de) d'un recouvrement.

Lemme —  Si \scriptstyle\left(U_i\right)_{i\in I} est un recouvrement ouvert d'un espace métrique séquentiellement compact X, alors

\exists r\in\R_+^*,\forall x\in X,\exists i(x)\in I,B\left(x,r\right)\subset U_{i(x)}

c'est-à-dire qu'il existe des r > 0 tels que toute boule ouverte de rayon r soit incluse dans au moins l'un des ouverts du recouvrement.

Soit X un espace métrique séquentiellement compact, prouvons qu'il est compact. Soit \scriptstyle\left(U_{i}\right)_{i\in I} un recouvrement ouvert de X et soit r fourni par le lemme. Par précompacité, il existe une partie finie Y de X telle que \scriptstyle X=\bigcup_{x\in Y}B\left(x,r\right). On en déduit alors que la sous-famille finie \scriptstyle\left(U_{i\left(x\right)}\right)_{x\in Y} recouvre X.

Énoncé dans le cas réel[modifier | modifier le code]

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Cette propriété n'est que la partie facile du théorème (le « seulement si »), appliquée aux intervalles fermés bornés de ℝ, qui sont compacts d'après le théorème de Borel-Lebesgue. Elle s'applique de même aux suites bornées complexes, ou plus généralement aux suites bornées de vecteurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie mais dans le cas réel, on peut en donner deux démonstrations plus directes :

Références[modifier | modifier le code]

  • Georges Skandalis (de), Topologie et analyse 3e année, Édition Dunod, Collection Sciences Sup, 2001
  • Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Édition Hermann, Collection Méthodes, 1995

Article connexe[modifier | modifier le code]

Lemme de Cousin