Théorème de Bolzano-Weierstrass

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En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass.

Énoncé du théorème

Un espace métrique (X,d) est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si (et seulement si) toute suite d'éléments de X admet une valeur d'adhérence dans X ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de X.

Cet énoncé peut se décomposer en :

• Deux scholies qui garantissent le « seulement si » :
  • Dans un espace (non nécessairement métrisable) compact ou même seulement dénombrablement compact, toute suite admet une valeur d'adhérence :voir l'article Espace dénombrablement compact.
  • Dans tout espace métrisable ou même seulement à base dénombrable de voisinages, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes :voir l'article Valeur d'adhérence.
• L'énoncé proprement dit, le « si » :

Tout espace métrique séquentiellement compact est compact.

(Un espace séquentiellement compact est un espace dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente.)

Démonstration

Tout espace métrique X séquentiellement compact est évidemment précompact, c'est-à-dire que toute suite dans X admet une sous-suite de Cauchy ou, ce qui est équivalent : pour tout r > 0, X est recouvert par un nombre fini de boules de rayon r.

Pour en déduire qu'il est compact, il suffit d'utiliser les liens généraux entre diverses notions de compacité.

Une autre approche, plus spécifique, est d'utiliser le lemme suivant, qui équivaut à l'existence de nombres de Lebesgue (de) d'un recouvrement.

Lemme —  Si $\scriptstyle\left(U_i\right)_{i\in I}$ est un recouvrement ouvert d'un espace métrique séquentiellement compact X, alors

$\exists r\in\R_+^*,\forall x\in X,\exists i(x)\in I,B\left(x,r\right)\subset U_{i(x)}$

c'est-à-dire qu'il existe des r > 0 tels que toute boule ouverte de rayon r soit incluse dans au moins l'un des ouverts du recouvrement.

Démonstration du lemme

Par l'absurde. On suppose $\forall r\in\mathbb{R}_{+}^{*},\exists x\in X,\forall i\in I,B\left(x,r\right)\not\subset U_i$ en particulier $\forall n\in\mathbb{N},\exists x_{n}\in X,\forall i\in I,B\left(x_{n},2^{-n}\right)\not\subset U_i$ .

$X$ est séquentiellement compact donc il existe une suite extraite $\left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)$ de $\left(x_n\right)$ convergeant vers un $x\in X$.

Comme les $U_i$ recouvrent X, au moins l'un d'entre eux, $U_{i_0}$, contient $x~$, donc (puisqu'il est ouvert) contient une boule de centre x et de rayon $\varepsilon>0$.

Or pour n assez grand, $d\left(x_{\varphi\left(n\right)},x\right)+2^{-\varphi(n)}\leq\varepsilon$. On a alors $B\left(x_{\varphi\left(n\right)},2^{-\varphi\left(n\right)}\right)\subset U_{i_{0}}$ ce qui est absurde.

Soit X un espace métrique séquentiellement compact, prouvons qu'il est compact. Soit $\scriptstyle\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de X et soit r fourni par le lemme. Par précompacité, il existe une partie finie Y de X telle que $\scriptstyle X=\bigcup_{x\in Y}B\left(x,r\right)$. On en déduit alors que la sous-famille finie $\scriptstyle\left(U_{i\left(x\right)}\right)_{x\in Y}$ recouvre X.

Énoncé dans le cas réel

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Cette propriété n'est que la partie facile du théorème (le « seulement si »), appliquée aux intervalles fermés bornés de ℝ, qui sont compacts d'après le théorème de Borel-Lebesgue. Elle s'applique de même aux suites bornées complexes, ou plus généralement aux suites bornées de vecteurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie mais dans le cas réel, on peut en donner deux démonstrations plus directes :

• par extraction d'une sous-suite monotone : d'après le « lemme des pics », toute suite réelle x = (x_n) possède une sous-suite monotone y. Si x est bornée alors ses sous-suites aussi donc la sous-suite y est convergente, d'après le théorème de la limite monotone ;
• par dichotomie : cf. boîte déroulante ci-dessous.

Démonstration élémentaire

Soit $(x_n)_{n \in \N}$ une suite à valeurs dans un segment $[a,b]$ de ℝ. La démonstration procède en deux temps :

1. Construction de deux suites $(a_n)_{n\in\N}$ (resp. $(b_n)_{n\in\N}$) croissante (resp. décroissante) telles que l'intervalle $[a_n,b_n]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in\N}$ et que $\forall n\in\N,\ b_n-a_n= \frac{b-a}{2^n}.$
2. Construction de la suite extraite.

• Construction par dichotomie des suites $(a_n)_{n\in\N}$ (resp. $(b_n)_{n\in\N}$)

On définit $a_0$ par $a_0=a$ et $b_0$ par $b_0=b$.
Pour tout entier naturel $n$, si l'intervalle $\left[a_n,\frac{a_n+b_n}2\right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in\N}$, on pose $a_{n+1} = a_n$ et $b_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$.
Sinon, l'intervalle $\left[ \frac{a_n+b_n}{2},b_n \right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in\N}$, on pose alors $a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$ et $b_{n+1} = b_n$.
On vérifie que ces deux suites ainsi construites sont adjacentes et que l'intervalle $[a_n,b_n]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in\N}$.

• Construction par récurrence de la suite extraite convergente

Cela revient à dire que nous cherchons une fonction $\varphi$ de ℕ dans ℕ strictement croissante, telle que la suite $(x_{\varphi (n)})_{n\in\N}$ soit convergente. Construisons alors la fonction $\varphi\;$ par récurrence.
Posons $\varphi(0)=0$. Pour tout entier $n$, prenons pour $\varphi(n+1)$ le plus petit entier $m$ strictement supérieur à $\varphi(n)$ tel que $x_m\in \left[ a_{n+1},b_{n+1} \right]$ (cet entier existe puisque $\left[ a_{n+1}\ ,b_{n+1}\ \right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in\N}$).
La fonction $\varphi\;$ est donc bien définie par récurrence et par construction cette fonction est strictement croissante et vérifie la propriété : $\forall n\in\N,\ \forall n_1>n,\ \forall n_2>n,\ |x_{\varphi(n_1)}-x_{\varphi(n_2)}|<\frac{b-a}{2^n}.$ Cette propriété nous montre que la suite $(x_{\varphi (n)})_{n\in\N} \;$ vérifie le critère de Cauchy, elle est donc convergente vers un réel $\ell$ appartenant à l'intervalle $[a,b]$.

Références

• Georges Skandalis, Topologie et analyse 3e année, Édition Dunod, Collection Sciences Sup, 2001
• Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Édition Hermann, Collection Méthodes, 1995

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