Théorème de Bolzano-Weierstrass

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En topologie des espaces métriques, le théorème de Bolzano-Weierstrass donne une caractérisation séquentielle des espaces compacts. Il tire son nom des mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass.

Énoncé du théorème

Un espace métrique $(X,d)~$ est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si et seulement si toute suite d'éléments de $X~$ admet une valeur d'adhérence dans $X~$ ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de $X~$.

Cet énoncé peut se décomposer en :

• (sens direct) Dans un espace compact (non nécessairement métrisable), toute suite admet une valeur d'adhérence.
• (valeur d'adhérence dans un métrique) Dans tout espace topologique, si un élément $a~$ est limite d'une sous-suite d'une suite $(x_n)~$ alors $a~$ est une valeur d'adhérence de la suite $(x_n)~$. Dans un espace métrique, la réciproque est vraie.
• (sens réciproque) Si $(X,d)~$ est un espace métrique dans lequel toute suite admet une sous-suite qui converge vers un élément de $X~$, alors $X~$ est compact.

Démonstration

Sens direct

On suppose que $X~$ est compact : si toute intersection finie d'une famille de fermés est non vide, alors l'intersection de toute la famille est non vide.

Soit $\left(x_{n}\right)$ une suite d'éléments de $X~$. Montrons que $\left(x_{n}\right)$ admet une valeur d'adhérence.

Notons $F_n=\overline{\left\{ x_{k},k\ge n\right\} }$ (où $\overline{A}$ désigne l'adhérence de A). L'ensemble des valeurs d'adhérence de $\left(x_n\right)$ est par définition l'intersection de la suite de fermés $F_n~$. Il suffit donc de montrer que pour tout ensemble fini (non vide) $J~$ d'entiers, $\bigcap_{n\in J}F_n$ est non vide. Or la suite des ensembles $F_n~$ est décroissante, donc $\bigcap_{n\in J}F_n=F_p$ pour $p = \max \{n; n \in J\}$. Et ce $F_p~$ contient $x_p~$ donc est non vide, ce qui conclut.

Sens réciproque

Dans cette démonstration, on qualifiera de séquentiellement compact un espace métrique dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente.

Premier lemme (nombres de Lebesgue d'un recouvrement)

Si $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ est un recouvrement ouvert d'un espace séquentiellement compact X, alors

$\exists r\in\mathbb{R}_{+}^{*},\forall x\in X,\exists i\in I,B\left(x,r\right)\subset U_{i}$

c'est-à-dire qu'il existe des $r>0~$ tels que toute boule ouverte de rayon $r~$ soit incluse dans au moins l'un des ouverts du recouvrement.

Démonstration

Par l'absurde. On suppose $\forall r\in\mathbb{R}_{+}^{*},\exists x\in X,\forall i\in I,B\left(x,r\right)\not\subset U_i$ en particulier $\forall n\in\mathbb{N},\exists x_{n}\in X,\forall i\in I,B\left(x_{n},2^{-n}\right)\not\subset U_i$ .

$X~$ est séquentiellement compact donc il existe une suite extraite $\left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)$ de $\left(x_{n}\right)$ convergeant vers un $x\in X$.

Comme les $U_{i}~$ recouvrent $X~$, au moins l'un d'entre eux, $U_{i_{0}}$, contient $x~$, donc (puisqu'il est ouvert) contient une boule de centre $x~$ et de rayon ε > 0.

Or pour $n~$ assez grand, $d\left(x_{\varphi\left(n\right)},x\right)+2^{-\varphi(n)}\leq\varepsilon$. On a alors $B\left(x_{\varphi\left(n\right)},2^{-\varphi\left(n\right)}\right)\subset U_{i_{0}}$ ce qui est absurde.

 

Deuxième lemme (précompacité)

Si X est séquentiellement compact alors pour tout r > 0, X est recouvert par un nombre fini de boules de rayon r.

Démonstration

Par l'absurde. On nie le résultat, puis on construit une suite qui nous permettra de trouver une contradiction. On suppose donc que pour un certain r > 0, aucune union finie de boules de rayon r ne remplit X. Ceci permet de construire par récurrence une suite (x_n) de points de X telle que pour tout n, $x_{n+1}\notin\bigcup_{k=0}^{n}B\left(x_{k},r\right)$. Cette suite vérifie alors

que $\forall\left(i,j\right)\in\mathbb{N}^{2},i\neq j\Rightarrow d\left(x_{i},x_{j}\right)\geq r$ donc $\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ n'admet pas de sous-suite convergente, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse que X est séquentiellement compact.

 

Fin de la démonstration du théorème

Supposons X séquentiellement compact et prouvons qu'il est compact. Soit $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de X.

D'après le premier lemme, il existe r > 0 tel que $\forall x\in X,\exists i\left(x\right)\in I,B\left(x,r\right)\subset U_{i\left(x\right)}$. Fixons un tel r.

D'après le lemme de précompacité, il existe une partie finie Y de X telle que $\textstyle X=\bigcup_{x\in Y}B\left(x,r\right)$.

On en déduit alors que la sous-famille finie $\left(U_{i\left(x\right)}\right)_{x\in Y}$ recouvre X.

Énoncé dans le cas réel

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Pour montrer cette propriété, il suffit de remarquer que les intervalles fermés bornés de $\R$ sont compacts (théorème de Borel-Lebesgue). La même propriété s'applique aux suites bornées complexes, ou plus généralement aux suites bornées de vecteurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie.

Démonstration élémentaire

Soit $(x_n)_{n \in \N}$ une suite à valeurs dans un segment [a,b] de $\R$. La démonstration procède en deux temps :

1) Construction de deux suites $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ (resp. $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$) croissante (resp. décroissante) telles que l'intervalle [a,b] contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et que

$\forall n\in\mathbb{N},\ b_n-a_n= \frac{b-a}{2^n}$

2) Construction de la suite extraite.

1) Construction par dichotomie des suites $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ (resp. $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$)

On définit a₀ par a₀ = a et b₀ par b₀ = b.

Pour tout entier naturel n, si l'intervalle $\left[ a_n , \frac{a_n+b_n}{2} \right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$, on pose a_{n + 1} = a_n et $b_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$.

Sinon, l'intervalle $\left[ \frac{a_n+b_n}{2},b_n \right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$, on pose alors $a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$ et b_{n + 1} = b_n.

On vérifie que ces deux suites ainsi construites sont adjacentes et que l'intervalle [a,b] contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$.

2) Construction par récurrence de la suite extraite convergente

Cela revient à dire que nous cherchons une fonction φ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ strictement croissante, telle que la suite $(x_{\varphi (n)})_{n\in \mathbb{N}}$ soit convergente. Construisons alors la fonction $\varphi\;$ par récurrence.

Posons φ(0) = 0. Pour tout entier n, prenons pour φ(n + 1) le plus petit entier m strictement supérieur à φ(n) tel que $x_m\in \left[ a_{n+1},b_{n+1} \right]$ (cet entier existe puisque $\left[ a_{n+1}\ ,b_{n+1}\ \right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$). La fonction $\varphi\;$ est donc bien définie par récurrence et par construction cette fonction est strictement croissante et vérifie la propriété:

$\forall n\in\mathbb{N},\ \forall n_1>n,\ \forall n_2>n,\ |x_{\varphi(n_1)}-x_{\varphi(n_2)}|<\frac{b-a}{2^n}\;$

Cette propriété nous montre que la suite $(x_{\varphi (n)})_{n\in \mathbb{N}} \;$ vérifie le critère de Cauchy, elle est donc convergente vers un réel $\ell$ appartenant à l'intervalle [a,b].

 

Références

• Georges Skandalis, Topologie et analyse 3e année, Édition Dunod, Collection Sciences Sup, 2001

• Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Édition Hermann, Collection Méthodes, 1995

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