Valeur d'adhérence

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En topologie, si $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ est une suite à valeurs dans un ensemble E, une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$ est un point de E près duquel s'accumulent une infinité de termes de la suite. Pour donner un sens mathématique à cela, il faut pouvoir mesurer la proximité, ce qui nécessite de munir E d'une topologie. La notion de valeur d'adhérence dépend alors de la topologie choisie. Dans un espace où tout point admet une base dénombrable de voisinages (c'est le cas notamment dans un espace métrique, comme $\R$ ou $\C$) les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites. Cette dernière propriété est souvent prise comme définition d'une valeur d'adhérence, mais n'est cependant pas équivalente à la définition la plus générale.

Cas des suites réelles

Le fait que $\R$ soit un espace métrique permet de donner plusieurs caractérisations équivalentes de l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite réelle.

Définition et caractérisation

Soient $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite réelle et a un nombre réel, on dit que $a$ est une valeur d'adhérence de $(u_n)$ s'il existe une sous-suite de $(u_n)$ qui converge vers a.

Ceci est équivalent aux deux propriétés suivantes :

1. $(\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_{+}^{*})(\forall N\in\mathbb{N}) (\exist n\ge N, \;|u_n-a|<\varepsilon)$
2. $(\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_{+}^{*})$ l'ensemble $\left \{n\in\N,\; |u_n-a|<\varepsilon\right \}$ est infini.

La deuxième propriété n'est qu'une reformulation ensembliste de la première. Pour montrer l'équivalence de la première propriété avec la définition, il suffit de remarquer que le ε peut être aussi petit que l'on veut, ce qui permet de trouver une sous-suite qui converge vers a. Plus précisément, on a la démonstration suivante :

Démonstration

• On suppose qu'il existe une sous-suite $(u_{\varphi(n)})$ qui converge vers $a$, et on veut en déduire la propriété 1. Soient ε>0 et $N\in\N$. La définition de la convergence nous fournit un entier $N_0$ tel que :

$(\forall n\geq N_0)(|u_{\varphi(n)}-a|<\varepsilon)$

On choisit alors un entier $n_0$ plus grand que $N_0$ et $N$, et on pose $n_1=\varphi(n_0)$. On a ainsi d'une part $|u_{n_1}-a|<\varepsilon$ (puisque $n_1=\varphi(n_0)$ et $n_0\ge N_0$) et d'autre part $n_1\ge N$ (puisque $n_1=\varphi(n_0)\ge n_0\ge N$).

• Réciproquement, considérons une suite vérifiant la propriété 1, et construisons par récurrence une extraction $\varphi$ (c'est-à-dire une application strictement croissante $\varphi:\N\to\N$) telle que la sous-suite $(u_{\varphi(n)})$ vérifie la propriété suivante :

$(\forall n\in\mathbf{N})\left(|u_{\varphi(n)}-a|<\frac{1}{n+1}\right)$

Pour $n=0$, il existe $n_0$ tel que $|u_{n_0}-a|<1$. On note $\varphi(0)$ un tel entier.

Supposons $\varphi$ définie jusqu'au rang $n$, la propriété 1 appliquée à $\varepsilon=\frac{1}{n+1}$, nous fournit au moins un entier $k>\varphi(n)$ tel que $|u_k-a|<\frac{1}{n+1}$. On peut alors noter $\varphi(n+1)$ un tel entier.

Il est maintenant clair que la sous-suite ainsi construite converge vers a, ce qui achève la démonstration.

Exemples

• la suite $((-1)^n)$ admet $1$ et $-1$ comme valeurs d'adhérence. En effet, les termes pairs sont constants à $1$ et les termes impairs constants à $-1$.

• la suite $(\sin(n))$ admet l'intervalle $[-1,1]$ comme ensemble de valeurs d'adhérence. Ceci résulte du fait que $\mathbb{Z}+ 2\pi\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

• la suite $((-1)^nn)$ n'admet pas de valeur d'adhérence dans $\mathbb{R}$. Mais dans la droite réelle achevée, la même suite admet $+\infty$ et $-\infty$ comme valeurs d'adhérence.

• la suite $((-1)^nn+n)$ admet 0 comme unique valeur d'adhérence mais ne converge pas. Dans la droite réelle achevée, la même suite admet $+\infty$ et 0 comme valeurs d'adhérence.

Cas général

La notion de valeur d'adhérence d'une suite dans un espace topologique généralise celle de valeur d'adhérence d'une suite réelle sous sa formulation propriété 2, laquelle signifiait, dit informellement, que chaque intervalle ]a-ε,a+ε[ contient "une infinité de termes" de la suite.

Définitions

Soient E un espace topologique, $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $E$ et a un élément de E. On dit que a est une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$ si tout voisinage de a contient une infinité de termes de la suite. Ceci équivaut à dire que a est dans l'adhérence de chacun des ensembles $\{u_n, n\ge N\}$. Intuitivement, la suite repasse aussi près que l'on veut de la valeur d'adhérence pour des indices arbitrairement grands.

Il suffit pour cela qu'il existe une sous-suite de $(u_n)$ qui converge vers $a$. Cette dernière condition est équivalente à la définition si tout point de $E$ admet une base dénombrable de voisinages. C'est le cas par exemple si $E$ est un espace métrique.

Plus généralement, si f est une fonction d'un espace topologique E dans un espace topologique F, on dit d'un point y de F qu'il est une valeur d'adhérence de f en un point x de E si y est adhérent aux images par f de tous les voisinages de x.

Exemples

• Considérons l'ensemble E égal à la réunion de $\N \times \N$ et d'un singleton { ω }. Munissons E de la topologie séparée suivante. Les points $(n,m)$ de $\N \times \N$ sont isolés et les voisinages de ω sont les parties U de E contenant ω et vérifiant la condition :

il existe N tel que, pour tout n supérieur ou égal à N, U contienne tous les points de $\{n\} \times \N$ sauf un nombre fini.

Considérons la suite parcourant $\N \times \N$ par diagonales descendantes successives :

$u_0=(0,0),\ u_1=(1,0),\ u_2=(0,1),\ u_3=(2,0),\ u_4=(1,1),\ u_5=(0,2)\ \ldots$

Cette suite admet ω comme valeur d'adhérence, mais aucune sous-suite ne converge vers ω.

• Les valeurs d'adhérence au point 0 de la fonction numérique $x \to \sin(1/x)$ sont tous les réels compris entre -1 et 1.

Ensemble des valeurs d'adhérence

Les exemples montrent que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite peut être vide ou avoir un ou plusieurs éléments, voire une infinité.

Cet ensemble F est toujours fermé. En effet, la formulation ensembliste de la définition est :

$F=\bigcap_{N\in\N}\overline{\left\{u_n,\;n\ge N\right\}}$

Ce qui montre que F est fermé, comme intersection de fermés.

Dans le cas d'une suite réelle, le plus petit et le plus grand élément de ce fermé sont respectivement les limites inférieure et supérieure de la suite.

Articles connexes

• Limite de suite
• Théorème de Bolzano-Weierstrass
• Point d'accumulation (mathématiques)
• Filtre (mathématiques)