Point adhérent

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En topologie, un point adhérent à une partie A d'un espace topologique E est un élément de l'adhérence de A, c'est-à-dire un point x de E tel que tout voisinage de x rencontre A (i.e. est non disjoint de A) ou encore : tout ouvert contenant x rencontre A. Tous les points de A sont adhérents à A ; d'autres points de E peuvent aussi, selon le cas, être adhérents à A.

La notion de point adhérent à un ensemble A n'est pas intrinsèque, en ce sens qu'elle dépend de l'espace topologique dont A est vu comme sous-ensemble.

Un point de E est non adhérent à A si et seulement s'il est intérieur à E\A. Un tel point est dit extérieur à A[1].

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Dans ℝ, 1 est adhérent à l'intervalle ]0, 1[.
  • Plus généralement, dans ℝ, les bornes supérieure et inférieure d'un ensemble borné non vide sont adhérentes à cet ensemble.
  • La limite d'une suite ou d'une fonction est adhérente à l'ensemble des valeurs prises par cette fonction.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Tout élément de A est adhérent à A.
  • Si la topologie de E est discrète, seuls les points de A sont adhérents à A.
  • Si la topologie de E est grossière et si A est non vide, tout point de E est adhérent à A.

Point limite, point isolé, partie discrète[modifier | modifier le code]

On dit qu'un point x de E est un point limite de A si tout voisinage de x contient au moins un élément de A autre que x. Autrement dit, x est un point limite de A si x est adhérent à A\{x}.

L'ensemble des points limites de A est noté A' et on l'appelle l'ensemble dérivé de A.

Un point de l'adhérence A qui n'est pas dans A est automatiquement un point limite de A, donc

\bar A = A\cup A'

et A est fermé si et seulement s'il contient tous ses points limites.

Dans un espace T1, A' est fermé :

(A')'\subset A'.

Un point de A qui n'est pas un point limite de A est appelé point isolé de A.

Une partie dont tous les points sont isolés est appelée partie discrète. En effet, la topologie induite sur A par la topologie de E est discrète si et seulement si tout point de A est isolé.

Point d'accumulation[modifier | modifier le code]

On dit qu'un point x de E est point d'accumulation de A si tout voisinage de x contient une infinité de points de A.

Tout point d'accumulation de A dans E est un point limite de A. La réciproque est vraie si E est un espace T1[2] et a fortiori s'il est séparé (espace T2), en particulier s'il est métrisable. Mais dans un espace topologique quelconque, A peut avoir des points limites qui ne sont pas points d'accumulation. Par exemple si E est un ensemble fini muni de la topologie grossière et si A est une partie non vide de E, tout point de E\A est point limite de A mais A ne possède pas de point d'accumulation dans E.

Caractérisation séquentielle[modifier | modifier le code]

Si un point x de E est limite d'une suite d'éléments de A alors x est adhérent à A. La réciproque est vraie si E est métrisable (ou plus généralement si x admet un système fondamental de voisinages dénombrable). Dans un tel espace on a donc de même : x est point limite de A si et seulement s'il est limite d'une suite d'éléments de A distincts de x.

De plus, dans un espace T1, rappelons que « point limite » est synonyme de « point d'accumulation » et remarquons que par ailleurs, un point est limite d'une suite d'éléments de A distincts de lui-même si et seulement s'il est limite d'une suite injective d'éléments de A. Dans un espace métrique on a donc : un point de E est point d'accumulation de A si et seulement s'il est limite d'une suite injective d'éléments de A.

Dans des espaces plus généraux, les suites ne fonctionnent plus ; il est préférable d'utiliser alors les filtres ou les suites généralisées.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean Dieudonné, Éléments d'Analyse, t. 1, p. 38.
  2. Pour un espace non T1, la terminologie est fluctuante : certains auteurs, comme Gustave Choquet (Cours d'analyse, tome II : Topologie, p. 14), Laurent Schwartz (Topologie générale et analyse fonctionnelle) ou Stephen Willard (General Topology), appellent « point d'accumulation » ce qui est appelé ici (comme dans Counterexamples in Topology) « point limite ». C'est cette autre terminologie qui est adoptée dans l'article Point d'accumulation (mathématiques).

Voir aussi[modifier | modifier le code]