Distance produit

En mathématiques, une distance produit est une distance définie sur le produit cartésien d'un nombre fini d'espaces métriques qui soit compatible avec la topologie produit^[1].

En particulier, pour n espaces métriques (X₁,d_X1) ... (X_n, d_Xn), on peut définir les distances produit de degré p pour $p\in [1,\infty )$ comme la norme p du vecteur de dimension n dont les coordonnées sont les n distances mesurées dans les différents espaces :

d_{p}((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))=\|\left(d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})\right)\|_{p}

Pour $p=\infty$ cette distance est également appelée distance-sup :

d_{\infty }((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})):=\max \left\{d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})\right\}.

Choix de la norme[modifier | modifier le code]

Dans un espace euclidien, on choisira la norme L₂ pour obtenir la distance euclidienne usuelle dans l'espace produit ; toutefois, les normes étant équivalentes, toute autre valeur de p induira la même topologie.

En théorie des catégories on utilise généralement la norme-sup pour le produit (au sens de la théorie des catégories) dans la catégorie des espaces métriques.

Le cas des variétés riemanniennes[modifier | modifier le code]

Pour deux variétés riemanniennes $(M_{1},g_{1})$ et $(M_{2},g_{2})$ , la métrique produit $g=g_{1}\oplus g_{2}$ sur $M_{1}\times M_{2}$ est définie par

g(X_{1}+X_{2},Y_{1}+Y_{2})=g_{1}(X_{1},Y_{1})+g_{2}(X_{2},Y_{2})

pour $X_{i},Y_{i}\in T_{p_{i}}M_{i}$ avec l'identification naturelle $T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2})=T_{p_{1}}M_{1}\oplus T_{p_{2}}M_{2}$ ^[2].

Références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Michel Marie Deza et Elena Deza, Encyclopedia of Distances, Springer Science & Business Media, 28 mai 2009 (ISBN 978-3-642-00234-2, lire en ligne)
↑ John M. Lee, Riemannian manifolds: an introduction to curvature, Springer, coll. « Graduate texts in mathematics », 1997 (ISBN 978-0-387-98322-6 et 978-0-387-98271-7)

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[1] (en) Michel Marie Deza et Elena Deza, Encyclopedia of Distances, Springer Science & Business Media, 28 mai 2009 (ISBN 978-3-642-00234-2, lire en ligne)

[2] John M. Lee, Riemannian manifolds: an introduction to curvature, Springer, coll. « Graduate texts in mathematics », 1997 (ISBN 978-0-387-98322-6 et 978-0-387-98271-7)

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