Application lipschitzienne

En analyse mathématique, une application lipschitzienne (du nom de Rudolf Lipschitz) est une application possédant une certaine propriété de régularité qui est plus forte que la continuité. Intuitivement, c'est une fonction qui est limitée dans sa manière d'évoluer. Tout segment reliant deux points du graphe d'une telle fonction aura une pente inférieure à une constante appelée constante de Lipschitz.

Les fonctions lipschitziennes sont un cas particulier de fonctions höldériennes.

Définitions

Cas réel

Une fonction réelle est k-lipschitzienne si le double cône blanc peut se déplacer le long de son graphe sans jamais avoir avec elle d'autre contact qu'au point central. Plus k est petit, plus le cône s'élargit et moins la fonction peut être abrupte.

Soient E une partie de ℝ, $\scriptstyle f:E\to\R$ une application et $k$ un réel positif.

On dit que $f$ est $k$-lipschitzienne si

$\forall(x,y)\in E^2,~|f(x)-f(y)|\le k~|x-y|.$

Cas des espaces métriques

Soient $(E,d_E)$ et $(F,d_F$) des espaces métriques, $\scriptstyle f:E\to F$ une application et $k$ un réel positif.

On dit que $f$ est $k$-lipschitzienne si

$\forall(x,y)\in E^2,~d_F\left(f(x),f(y)\right)\le k~d_E(x,y).$

De plus

• f est dite lipschitzienne s'il existe k ≥ 0 tel que f soit k-lipschitzienne.
• S'il existe de tels k alors le plus petit d'entre eux existe et est appelé la constante de Lipschitz de f.
• f est dite contractante s'il existe un $\scriptstyle k\in[0,1[$ tel que f soit k-lipschitzienne.
• f est dite localement lipschitzienne si pour tout point x de E, il existe un voisinage V de x tel que la restriction de f à V soit lipschitzienne (pour une certaine constante k qui peut dépendre de V, donc de x).

Propriétés

Caractérisation parmi les fonctions dérivables

Une fonction f dérivable sur un intervalle réel est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée.

En effet, si f est k-lipschitzienne, la valeur absolue de chaque quotient

$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$

pour x et y distincts, est majorée par k ; par passage à la limite, on en déduit que la valeur absolue de la dérivée de f est elle aussi majorée par k.

Et réciproquement, si la valeur absolue de la dérivée est majorée par k, f est k-lipschitzienne, d'après l'inégalité des accroissements finis.

Corollaires de cette réciproque :

• toute fonction réelle continûment dérivable sur un intervalle réel fermé borné est lipschitzienne (en effet, sa dérivée, continue sur cet intervalle, est bornée d'après le théorème des bornes) ;
• toute fonction continûment dérivable sur un intervalle est localement lipschitzienne (conséquence immédiate du corollaire précédent).

Quelques propriétés

• Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue et toute fonction localement lipschitzienne est continue. En effet, les fonctions lipschitziennes sont exactement les fonctions 1-höldériennes, or toute fonction höldérienne est uniformément continue.
• Sur un espace compact, toute fonction localement lipschitzienne est lipschitzienne.
• Toute fonction réelle lipschitzienne est (absolument continue donc à variation bornée donc) dérivable presque partout pour la mesure de Lebesgue et sa dérivée est essentiellement bornée.
• D'après un théorème de Rademacher, toute fonction lipschitzienne définie sur ℝⁿ est encore dérivable Lebesgue-presque partout. Cela rend les fonctions lipschitziennes très utiles dans diverses branches des mathématiques, par exemple en théorie géométrique de la mesure où la différentiabilité presque partout est largement suffisante.
• Toute limite uniforme f de fonctions k-lipschitziennes f_n : E → F est k-lipschitzienne. En effet, pour tous points x et y de E on a, pour tout indice n :
  d_F(f(x), f(y)) ≤ d_F(f_n(x), f_n(y)) + 2 e_∞(f_n, f) ≤ k d_E(x, y) + 2 e_∞(f_n, f) donc par passage à la limite, d_F(f(x), f(y)) ≤ k d_E(x, y).
• Le théorème de Kirszbraun (en) (démontré pour deux espaces euclidiens par Mojżesz David Kirszbraun puis généralisé par Frederick Valentine) assure que pour deux espaces de Hilbert H₁, H₂, une fonction lipschitzienne sur une partie de H₁ et à valeurs dans H₂ peut se prolonger en une fonction lipschitzienne de H₁ tout entier dans H₂, avec la même constante de Lipschitz.

Exemples

• Une application est 0-lipschitzienne si et seulement si elle est constante.
• La fonction f définie pour x ≥ 0 par f(x) = √x n'est pas lipschitzienne sur [0, 1] ni même (ce qui par continuité est en fait équivalent) sur ]0, 1] (elle est seulement ¹⁄₂-höldérienne).
  • Démonstration directe : pour x > 0, on a (f(x) – f(0))/(x – 0) = 1/√x, qui n'est pas borné au voisinage de x = 0. Donc f n'est pas lipschitzienne sur [0, 1].
  • Démonstration en utilisant la dérivée : sur ]0, 1], f est dérivable et sa dérivée, x ↦ 1/(2√x), n'est pas bornée, donc f n'est pas lipschitzienne.
• La fonction g définie sur l'intervalle fermé borné [0, 1] par g(x) = x^3/2sin(1/x) si x ≠ 0 et g(0) = 0 est dérivable sur tout son domaine, mais non lipschitzienne, car de dérivée non bornée.

Articles connexes

• Théorème de Cauchy-Lipschitz
• Théorème du point fixe de Banach