Primorielle
La primorielle d'un entier naturel n, notée n# ou P(n), est le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Par exemple, P(7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210 est une primorielle. Ces nombres furent nommés ainsi par Harvey Dubner.
L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs apparaît dans la démonstration de l'infinité des nombres premiers ; elle est utilisée pour montrer l'existence d'un nombre premier plus grand que tout nombre premier p donné : tout diviseur premier de P(p) + 1 est en effet plus grand que p. Il est possible que P(p) + 1 lui-même soit premier ; c'est alors un nombre premier primoriel.
Tout nombre hautement composé est un produit de primorielles (exemple 360 = 2 × 6 × 30).
Sommaire
Progressions arithmétiques et primorielles[modifier | modifier le code]
Les primorielles jouent un rôle important dans la recherche des nombres premiers en progression arithmétique[1].
Par exemple 14 933 623 + k P(13) est un nombre premier pour k = 0, 1, ..., 12, ce qui donne une suite de 13 nombres premiers en progression arithmétique de raison P(13).
Des suites de nombres composés arbitrairement longues[modifier | modifier le code]
Soit pn le n-ième nombre premier. Alors P(pn) + 2, … , P(pn) + pn est une suite de pn – 1 nombres composés consécutifs[2].
Premières primorielles[modifier | modifier le code]
Voici les premières valeurs primorielles, sous forme de liste et de représentation graphique[3]. La liste n'indique P(n) que pour n nul ou premier puisque par définition, la suite P croît par paliers.
| n | P(n) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 5 | 30 |
| 7 | 210 |
| 11 | 2 310 |
| 13 | 30 030 |
| 17 | 510 510 |
| 19 | 9 699 690 |
| 23 | 223 092 870 |
| 29 | 6 469 693 230 |
| 31 | 200 560 490 130 |
| 37 | 7 420 738 134 810 |
Évaluation asymptotique[modifier | modifier le code]
Erdős a montré élémentairement en 1932 que n# ≤ 4n (comme lemme dans sa preuve du postulat de Bertrand) mais le théorème des nombres premiers permet d'avoir l'évaluation : n# = en+o(n).
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (en) Primes in Arithmetic Progression Records.
- Pour plus de détails, voir « Écart entre nombres premiers » et « Nombre d'Euclide ».
- Pour une liste plus longue, voir la suite A034386 de l'OEIS.
