Primorielle

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La primorielle d'un entier naturel , notée ou [réf. souhaitée], est le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à . Par exemple, la primorielle de 10 est . Ces nombres ont été ainsi nommés par Harvey Dubner.

L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs apparaît dans la démonstration d'Euclide de l'infinité des nombres premiers ; on l'utilise pour montrer l'existence d'un nombre premier plus grand que tout nombre premier donné : tout diviseur premier du nombre d'Euclide est en effet strictement plus grand que . Il est possible que soit lui-même premier ; c'est alors un nombre premier primoriel.

Premières valeurs[modifier | modifier le code]

Voici les premières valeurs des primorielles, suivant 0# = 1, sous forme de liste[1] et de représentation graphique. La liste ne donne que pour premier puisque, par définition, la suite est constante entre deux premiers consécutifs.

Progressions comparées de n! (en jaune) et n# (en rouge), à échelle logarithmique. On remarque la croissance linéaire de ln(n#).
k n = pk n#
1 2 2
2 3 6
3 5 30
4 7 210
5 11 2 310
6 13 30 030
7 17 510 510
8 19 9 699 690
9 23 223 092 870
10 29 6 469 693 230
11 31 200 560 490 130
12 37 7 420 738 134 810

Les indices pour lesquels est premier sont 2, 3, 5, 6 et ceux pour lesquels est premier sont 1, 2, 3, 4, 5, 11 (pour plus d'informations, voir l'article « Nombre premier primoriel » et ses liens externes).

Évaluations asymptotiques[modifier | modifier le code]

  • Le logarithme de , soit , est égal à , où est la première fonction de Tchebychev. Le théorème des nombres premiers étant équivalent à la relation , on obtient : , ce qui implique . Pour les valeurs de sont inférieures à [2] , mais on remarque ensuite des oscillations autour de .
  • la somme des inverses des primorielles est finie :
Voir la suite A064648 de l'OEIS.
Notons que ce nombre est par définition le nombre dont la suite des coefficients du développement de Engel est la suite des nombres premiers.

Primorielles et nombres composés consécutifs[modifier | modifier le code]

Pour tout entier de 2 jusqu'à inclus, on a  ; on en déduit que les entiers forment entiers consécutifs composés, ce qui montre qu'il y a des plages de composés consécutifs aussi grandes qu'on veut.

Produits de primorielles[modifier | modifier le code]

Un entier est produit de primorielles si et seulement si sa décomposition en produit de facteurs premiers écrite avec des facteurs croissants voit les exposants de ces derniers décroitre : avec , où est le k-ieme nombre premier.

Toutes les factorielles sont des produits de primorielles, comme le montre la formule exprimant l'exposant du nombre premier dans la décomposition de  : . Par exemple .

Tout nombre hautement composé est également un produit de primorielles.

Progressions arithmétiques et primorielles[modifier | modifier le code]

Les primorielles jouent un rôle important dans la recherche de suites de nombres premiers en progression arithmétique (Ben Green et Terence Tao ont établi en 2004 l'existence de telles suites avec arbitrairement grand, mais de façon non constructive). Pour une telle suite, on a les deux propriétés suivantes :
  • la raison est un multiple de , sauf si la suite commence à (qui doit alors être premier)[3]. Par exemple, la suite de 26 nombres premiers trouvée en par Benoît Perichon et PrimeGrid[4],[5] a une raison multiple de 26# = 23# ; elle est donnée par la formule :
    pour
  • il semble que pour tout , le plus petit multiple (soit lui-même) est atteint pour certaines suites. Cette conjecture est vérifiée au moins jusqu'à  ; par exemple, David W. Wilson a découvert en 1999[6] une suite arithmétique de 13 nombres premiers de raison 13# :
    pour .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une liste bien plus longue, voir la suite OEISA034386 ou OEISA002110 de l'OEIS, ou encore http://planetmath.org/TableOfTheFirst100Primorials.
  2. L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions and . II. Math. Comp. Bd. 34, Nr. 134 (1976) 337–360; dort S. 359. Zitiert in: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef sur le -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction , nombre de diviseurs premiers de . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); dort S. 371
  3. (en) « Primes in Arithmetic Progression Records, Introduction ».
  4. (en) « Primes in Arithmetic Progression Records ».
  5. Suite OEISA204189 de l'OEIS.
  6. (en) « Smallest AP-k with minimal difference ».
  7. Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris, Calvage et Mounet, , 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), I - Arithmétique de ℤ, chap. 2.2. (« Nombres pratiques »), p. 20-24