Espace vectoriel quotient

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En algèbre linéaire, l'espace vectoriel quotient E/F d'un espace vectoriel E par un sous-espace vectoriel F est la structure naturelle d'espace vectoriel sur l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence : v est en relation avec w si et seulement si v – w appartient à F.

C'est donc l'ensemble des classes [v]=v+F, où v parcourt E, muni des lois suivantes :

L'application v ↦ [v] est une application linéaire surjective dont le noyau est F.

Propriété universelle[modifier | modifier le code]

Les espaces quotients interviennent dans le théorème de factorisation en algèbre linéaire. Toute application linéaire f : E→G se factorise comme la composée de la surjection linéaire EE/ker f par l'injection linéaire (E/ker f)→G. Si F est inclus dans ker f alors il existe une application linéaire g : E/F→G, unique, telle que f soit la composée de l'application quotient E→E/F et de g. Autrement dit, l'application quotient E→E/F est l'objet initial de la catégorie des applications linéaires f : E→G dont le noyau contient F.

Exemple[modifier | modifier le code]

Si E est l'espace K[X] des polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps K, F le sous-espace des multiples d'un polynôme fixé P de degré n et G celui des polynômes de degré strictement inférieur à n, alors (par division euclidienne par P) F et G sont supplémentaires. Par conséquent, l'espace quotient E/F est isomorphe à G, donc de dimension n.

Articles connexes[modifier | modifier le code]