Métrique de Minkowski

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En notant $\mu,\nu\,$ des indices d'espace-temps à 4 dimensions la métrique de Minkowski s'écrit, avec la signature $(-;+;+;+)$ :

$\eta_{\mu \nu} \equiv \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \$

ou bien sous forme différentielle

${\rm d}s^2 = \eta_{\mu \nu} {\rm d}x^\mu{\rm d}x^\nu=-c^2{\rm d}t^2+{\rm d}x^2+{\rm d}y^2+{\rm d}z^2 \,$

Une autre possibilité est de choisir la signature $(+;-;-;-)$ :

$\eta_{\mu \nu} \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \$

la forme différentielle est alors

${\rm d}s^2 = \eta_{\mu \nu} {\rm d}x^\mu{\rm d}x^\nu=c^2{\rm d}t^2-{\rm d}x^2-{\rm d}y^2-{\rm d}z^2 \,$