Polynôme homogène

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En mathématiques, un polynôme homogène, ou forme algébrique, est un polynôme en plusieurs indéterminées dont tous les monômes non nuls sont de même degré total. Par exemple le polynôme x5 + 2x3y2 + 9xy4 est homogène de degré 5 car la somme des exposants est 5 pour chacun des monômes ; les polynômes homogènes de degré 2 sont les formes quadratiques. Les polynômes homogènes sont omniprésents en mathématiques et en physique théorique.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit K un corps commutatif. Un polynôme homogène de degré d en n variables est un polynôme dans K[X1, … , Xn] qui est somme de monômes de degré d.

Si un polynôme P de K[X1, … , Xn] est homogène de degré d, alors la fonction polynomiale associée est homogène de degré d, c'est-à-dire que pour tous λ, x1, … , xnK on a : P(\lambda x_1, ...,\lambda x_n)=\lambda^d P(x_1,...,x_n).

La réciproque est vraie lorsque le corps est infini.

Structure[modifier | modifier le code]

L'ensemble des polynômes homogènes de degré d dans K[X1, … , Xn] forme un K-espace vectoriel. (En particulier, le polynôme nul est homogène de degré d, pour tout entier d ; c'est le seul polynôme homogène dont le degré n'est donc pas défini.)

Sa base canonique est l'ensemble des monômes

X_1^{\alpha_1}X_2^{\alpha_2}...X_n^{\alpha_n}~\mathrm{o\grave u}~\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n=d.

Sa dimension est donc le nombre de d-combinaisons avec répétition de l'ensemble {1, 2, … , n} :

\Gamma_n^d={n+d-1\choose d}.

Formes[modifier | modifier le code]

Les formes algébriques généralisent les formes quadratiques au degré 3 et plus, et étaient aussi connues par le passé sous le nom de « quintiques ». Pour désigner le type d'une forme, il faut à la fois donner son degré et le nombre de variables n. Une forme est « sur » un corps K, si elle applique Kn dans K.

Une forme f à n variables sur un corps K « représente 0 » s'il existe un élément (x1, … , xn) dans Kn tel que f(x1, … , xn) = 0 et qu'au moins l'un des xi (i = 1,...,n) est non nul. Par exemple, une forme quadratique représente 0 si et seulement si elle n'est pas définie.

Une forme de degré d est dite diagonale (en) si elle s'écrit a1x1d + … + anxnd.

Utilisation en géométrie algébrique[modifier | modifier le code]

De même qu'une variété algébrique affine sur K est le lieu d'annulation, dans un espace affine Kn, d'une famille de polynômes à n variables à coefficients dans K, une variété algébrique projective sur K est le lieu d'annulation, dans un espace projectif Pn(K), d'une famille de polynômes homogènes à n + 1 variables à coefficients dans K.

Par exemple, on peut définir une courbe algébrique affine dans K2 comme le lieu d'annulation d'un polynôme à deux variables à coefficients dans K. Si l'on veut définir une courbe algébrique dans le plan projectif P2(K), on voudrait de même la définir comme le lieu d'annulation d'un polynôme P à trois variables. Mais dans le plan projectif, x : λy : λz) = (x : y : z), pour tout λ ≠ 0. On veut donc nécessairement que P(x, y, z) = 0 ⇔ Px, λy, λz) = 0, pour que le lieu d'annulation ne dépende pas du λ choisi. C'est pour cela qu'on demande au polynôme P d'être homogène.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) C. G. Gibson, Elementary Geometry of Algebraic Curves, Cambridge University Press, 1998