Rayon spectral

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Si $A$ est un endomorphisme sur un espace de Banach complexe $E$ , on appelle rayon spectral de $A$ , le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de $A$ . Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de $A$ .

En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ , le rayon spectral est égal à $\max_{i}{\left| \lambda_i \right|}$ .

Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral $\rho (A)$ d'un endomorphisme $A$ est donné par la formule $\rho(A) = \lim_{+\infty} \|A^n\|^{1/n}$ . Et plus précisément, $\|A^k\|\sim\rho(A)^k$ pour $k\rightarrow \infty.\,$ .

Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, $\|A\|^2=\rho (A^*A)$ .

Le rayon spectral peut donc être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice $M =\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ a un rayon spectral 0, mais $M\neq 0$ donc $\|M\|>0=\rho (M)$ (plus précisément, $\|M\|=1$ car nous avons $\|M\|^2 = \|^{\operatorname t}M\ M \| =\rho(^{\operatorname t}M\ M )=1$ ).