Rayon spectral

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Si A est un endomorphisme sur un espace de Banach complexe E, on appelle rayon spectral de A, et on note \rho(A), le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de A. Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de A.

En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n, le rayon spectral est égal à \max_{i}{\left| \lambda_i \right|}.

Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c'est-à-dire toute norme d'algèbre sur M_n(\R) (respectivement M_n(\mathbb C)) et pour toute matrice A dans M_n(\R) (respectivement M_n(\mathbb C)),  \rho(A)\le N(A).

De plus, on montre que  \rho(A) = \inf N(A) , la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l'ensemble des normes d'algèbre.

Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral \rho (A) d'un endomorphisme A est donné par la formule \rho(A) = \lim_{+\infty} \|A^n\|^{1/n}.

Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H,  \|A\|^2=\rho (A^*A) .

Le rayon spectral peut donc être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice M =\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} a un rayon spectral 0, mais M\neq 0 donc \|M\|>0=\rho (M) (plus précisément, \|M\|=1 car nous avons  \|M\|^2 = \|^{\operatorname t}M\ M \| =\rho(^{\operatorname t}M\ M )=1).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Spectre d'un opérateur linéaire